Чтение онлайн

655. Таким образом, если благодаря перемещению магнитов или изменению текущих поблизости токов магнитное поле каким-то образом меняется, то в токовом листе возникнут такие электрические токи, что их магнитное действие совместно с действием магнитов или токов в поле будет поддерживать неизменной нормальную составляющую магнитной индукции в каждой точке листа. Если же вначале не было никакого магнитного действия и не было токов в листе, то нормальная составляющая магнитной индукции всегда будет равна нулю во всех точках листа.

Поэтому такой лист можно считать непроницаемым для магнитной индукции; линии магнитной индукции будут отклоняться им точно так же, как отклонялись бы линии потока электрического тока в бесконечной и однородной проводящей среде при введении листа такой же формы, но изготовленного из вещества с бесконечным сопротивлением.

Если лист образует замкнутую или бесконечную поверхность, то любое магнитное действие, имеющее место по одну сторону листа, не произведёт никаких магнитных эффектов по другую его сторону.

Теория плоского токового листа

656. Мы уже знаем, что внешнее магнитное действие токового листа эквивалентно действию магнитной оболочки, мощность которой в каждой её точке численно равна величине функции тока . Когда лист плоский, мы можем выразить все величины, необходимые для определения электромагнитных эффектов, через одну-единственную функцию P, которая является потенциалом, создаваемым слоем некоторой воображаемой материи, распределённой на этой плоскости с поверхностной плотностью . Величина P, разумеется, равна

P

=

r

dx'

dy'

,

(1)

где r - расстояние от точки (x,y,z), в которой вычисляется P, до точки (x',y',0), лежащей на плоскости листа, в которой берётся элемент интегрирования dx'dy'.

Для отыскания магнитного потенциала мы можем рассматривать магнитную оболочку, как бы состоящую из двух поверхностей, параллельных плоскости xy первая плоскость (её уравнение z=c/2) имеет поверхностную плотность /c, а вторая плоскость (её уравнение z=-c/2) имеет поверхностную плотность -/c.

Потенциалы, обусловленные этими поверхностями, будут соответственно такими:

1

c

P

z

–

c

2

и

–

1

c

P

z

–

c

2

,

где индексы указывают на то, что в первом выражении вместо z берется z-c/2, а во втором z+c/2. Разлагая эти выражения по теореме Тейлора и складывая их, сделаем затем величину c бесконечно малой; тогда для магнитного потенциала, создаваемого листом в любой точке, расположенной вне его, получим

=

–

dP

dz

.

(2)

657. Величина P симметрична относительно плоскости листа, поэтому при замене z на -z она остаётся неизменной; магнитный потенциал при замене z на -z меняет знак.

На положительной поверхности листа

=

–

dP

dz

=

2

.

(3)

На отрицательной поверхности листа

=

–

dP

dz

=

– 2

.

(4)

В пределах самого листа, если магнитные эффекты возникают из-за намагниченности его вещества, магнитный потенциал изменяется непрерывно от значения, равного 2 на положительной поверхности, до значения, равного -2 на отрицательной поверхности.

Если лист содержит электрические токи, магнитная сила внутри него не удовлетворяет условиям существования потенциала; однако сама магнитная сила в нём является совершенно определённой.

Её нормальная составляющая

=

–

d

dz

=

d^2P

dz^2

(5)

одна и та же как на обеих сторонах листа, так и внутри его вещества.

Если и являются составляющими магнитной силы, параллельными x и y на положительной поверхности, а ', ', - аналогичные составляющие на отрицательной поверхности, то

=

– 2

d

dx

=

– '

.

(6)

=

– 2

d

dy

=

– '

.

(7)

Внутри листа эти составляющие меняются непрерывно от значений и до значений ' и '.

Уравнения

dH

dy

–

dG

dz

=

–

d

dx

,

dF

dz

–

dH

dx

=

–

d

dy

,

dG

dx

–

dF

dy

=

–

d

dz

,

(8)

связывающие составляющие вектор-потенциала F, G, H, обусловленного токовым листом, со скалярным потенциалом , удовлетворяются, если мы положим

F

=

dP

dy

,

G

=

–

dP

dx

,

H

=

0.

(9)

Эти величины мы можем получить также непосредственным интегрированием; так, для F имеем

F

=

u

r

dx'

dy'

=

1

r

d

dy'

dx'

dy'

,

=

r

dx'

–

d

dy'

1

r

dx'

dy'

.

Интеграл должен вычисляться для бесконечного плоского листа, а первый член на бесконечности исчезает, поэтому всё это выражение сводится к его второму члену. Заменяя