Чтение онлайн

d

dy

1

r

на

d

dy'

1

r

и помня, что зависит от x' и y', но не зависит от x, y, z, мы получаем

F

=

d

dy

r

dx'

dy'

,

=

dP

dy

, (согласно (1)).

Если ' есть магнитный потенциал, создаваемый какой-либо магнитной или электрической системой, расположенной вне листа, мы можем записать

P'

=-

dz

(10)

и тогда для составляющих вектор-потенциала, обусловленного этой системой, будем иметь

F'

=

dP'

dy

,

G'

=

–

dP'

dx

,

H'

=

0.

(11)

658. Определим теперь электродвижущую напряжённость в произвольной точке листа, считая его неподвижным.

Пусть X и Y будут составляющими электродвижущей напряжённости, параллельными соответственно x и y, тогда, согласно п. 598, имеем

X

=

–

d

dt

(F+F')

–

d

dx

,

(12)

Y

=

–

d

dt

(G+G')

–

d

dy

,

(13)

Если электрическое сопротивление листа однородно и равно , то

Y

=

u

,

Z

=

v

,

(14)

где u и v - составляющие тока, выражаемые через функцию тока :

Но по уравнению (3) на положительной поверхности токового листа 2=-dP/dz.

Следовательно, уравнения (12) и (13) могут быть записаны в форме

–

2

d^2P

dydz

=-

d^2

dydt

(P+P')

–

d

dx

,

(16)

2

d^2P

dxdz

=

d^2

dxdt

(P+P')

–

d

dy

,

(17)

где величины, стоящие во всех выражениях, соответствуют положительной поверхности листа.

Дифференцируя первое из этих уравнений по x и второе уравнение по y, а затем складывая результаты, получаем

d^2

dx^2

+

d^2

dy^2

=

0.

(18)

Единственным решением этого уравнения, конечным и непрерывным в любой точке плоскости и исчезающим на бесконечном расстоянии от неё, является

=

0.

(19)

Следовательно, индуцирование электрических токов в бесконечном плоском листе с однородной проводимостью не сопровождается появлением разности электрических потенциалов между различными частями листа.

Подставляя это значение - и интегрируя уравнения (16) и (17), мы получаем

2

dP

dz

–

dP

dt

–

dP'

dt

=

f(z,t).

(20)

Поскольку величины токов в листе найдены дифференцированием по x или y, то произвольная функция от z и t при этом исчезает, и мы не будем принимать её в расчёт.

Далее вместо /(2) мы будем употреблять один символ R, который представляет собой некоторую скорость; тогда уравнение, связывающее P и P', станет таким:

R

dP

dz

=

dP

dt

+

dP'

dt

.

(21)

659. Предположим сначала, что нет внешних магнитных систем, действующих на токовый лист. Поэтому мы можем положить P'=0. Тогда приходим к случаю системы электрических токов в листе, предоставленных самим себе, но воздействующих друг на друга через взаимную индукцию и в то же самое время теряющих энергию из-за сопротивления листа. Результат выражается уравнением

R

dP

dz

=

dP

dt

,

(22)

решением которого является

P

=

F

{

x,y(z+Rt)

}.

(23)

Следовательно, значение P в произвольной точке на положительной стороне листа с координатами x, y, z в момент времени t равно значению P в точке x,y,(z+Rt) в момент времени t=0.

Поэтому если в однородном плоском листе неограниченной протяжённости возбуждена какая-то система токов и предоставлена затем самой себе, то производимый ею в любой точке на положительной стороне листа магнитный эффект будет таким же, как если бы эта система токов на листе поддерживалась неизменной, а сам лист двигался бы с постоянной скоростью R в направлении нормали, выходящей из отрицательной стороны. Уменьшение электромагнитных сил, возникающее из-за спадания тока в реальном случае, представляет собой точно то уменьшение сил, которое связано с увеличением расстояния в воображаемом случае.

660. Интегрируя уравнение (21) по t, получаем

P

+

P'

=

R

dP

dz

dt

.

(24)

Если предположить, что сначала обе величины P и P' равнялись нулю и что магнит (или электромагнит) внезапно подвергся намагничиванию или был принесён из бесконечности, мгновенно изменив значение P' от нуля до P', то, поскольку интеграл по времени в правой части (24) исчезает, мы должны в первое мгновение на поверхности листа получить P=-P'.

Таким образом, система токов, возбуждаемых в листе при мгновенном введении системы, обусловливающей значение P', такова, что на поверхности листа она полностью нейтрализует магнитное действие этой системы.

Поэтому на поверхности листа и, следовательно, во всех точках на его отрицательной стороне начальная система токов производит действие равное, но противоположное действию магнитной системы на положительной стороне. Мы можем выразить это, сказав, что действие токов эквивалентно действию изображения магнитной системы, совпадающей по своему положению с исходной системой, но противоположной ей в отношении намагниченности и электрических токов. Такое изображение называется отрицательным.