Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
AB(ln R+1)
=
AP ln OA
+
PB ln OB
+
OP
AOB
.
Рис. 42
(2). Для двух отрезков (рис. 42) длиной a и b, проведённых в одну сторону из концов отрезка длиной с перпендикулярно ему, имеем
ab
(2ln R+3)
=
(c^2-(a-b)^2)
ln
c^2+(a-b)^2
+
c^2ln c
+
+
(a^2-c^2)
ln
a^2+c^2
+
(b^2-c^2)
ln
b^2+c^2
–
–
c(a-b)
arctg
a-b
c
+
ac
arctg
a
c
+
bc
arctg
b
c
.
Рис. 43
(3). Для двух отрезков PQ и RS (рис. 43), направления которых пересекаются в точке O,
PQ·RS
(2ln R+3)
=
=
ln PR
(2OP·OR sin^2O-PR^2 cos O)
+
ln QS
(2OQ·OS sin^2O-QS^2 cos O)
–
ln PS
(2OP·OS sin^2O-PS^2 cos O)
–
ln QR
(2OQ·OR sin^2O-QR^2 cos O)
–
sin O
{
OP^2·
SPR
–
OQ^2·SQR
+
OR^2·
PRQ
+
OS^2·
PSQ
}.
Рис. 44
(4). Для точки O и прямоугольной площадки ABCD (рис. 44). Пусть OP, OQ, OR, OS перпендикулярны к его сторонам, тогда
AB·AD(2ln R+3)
=
2OP·OQ ln OA
+
+
2OQ·OR ln OB
+
2OR·OS ln OC
+
+
2OS·OP ln OD
+
OP^2·
DOA
+
+
OQ^2·
AOB
+
OR^2·
BOC
+
OS^2·
COD
.
(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины a
ln
R
=
ln a
–
3
2
,
или
R
=
ae
– 3/2
,
R
=
0,22313a
.
(6). Для прямоугольной площадки, стороны которой равны a и b,
ln R
=
ln
a^2+b^2
–
1
6
a^2
b^2
ln
1
+
b^2
a^2
1/2
–
–
1
6
b^2
a^2
ln
1
+
a^2
b^2
1/2
+
2
3
a
b
arctg
b
a
+
+
2
3
b
a
arctg
a
b
–
25
12
.
Когда этот прямоугольник является квадратом со стороной a,
ln
R
=
ln a
+
1
3
ln 2
+
3
–
25
12
,
R
=
0,44705a
.
(7). Среднее геометрическое расстояние между точкой и линией окружности равно наибольшей из двух величин: величины расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса этой окружности.
(8). Таким образом, среднее геометрическое расстояние любой фигуры от некоторого кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равно её среднегеометрическому расстоянию от центра кольца, если эта фигура целиком расположена вне кольца; если же она вся лежит внутри кольца, то
ln R
=
a^2ln a-a^2ln a
a^2-a^2
–
1
2
,
где a и a - внешний и внутренний радиусы кольца. В этом случае R не зависит от формы фигуры, находящейся внутри кольца.
(9). Среднее геометрическое расстояние всех пар точек в кольце находится из уравнения
ln R
=
ln a
–
a
(a^2-a^2)^2
ln
a
a
+
1
4
3a^2-a^2
a^2-a^2
.
Для круглой площадки радиуса а это выражение принимает вид
ln
R
=
ln a
–
1
4
,
или
R
=
ae
– 1/4
,
R
=
0,7788a
.
Для линии окружности R=a.
693. При вычислении коэффициента самоиндукции катушки однородного сечения, радиус кривизны которой значительно превышает размеры поперечного сечения, мы сначала, пользуясь только что описанным методом, определяем средние геометрические расстояния между всеми парами точек сечения катушки, а затем подсчитываем коэффициент взаимной индукции между двумя линейными проводниками заданной формы, помещёнными на этом расстоянии друг от друга.
Это и будет коэффициентом самоиндукции для единичного полного тока в катушке, если он распределён однородно по всем точкам сечения.
Но если в катушке имеется m витков, мы должны полученный коэффициент помножить на n^2 тогда мы получим коэффициент самоиндукции в предположении, что всё сечение катушки полностью заполнено витками проводящего провода.
Однако провод имеет цилиндрическую форму и покрыт изолирующим материалом, поэтому ток не распределён равномерно по сечению, а сконцентрирован в определённых его частях; это увеличивает коэффициент самоиндукции. Помимо этого, токи в соседних проводах не оказывают на ток в данном проводе того же самого действия, что при однородном распределении.