Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Когда длина проводников не очень сильно превышает расстояние между ними, выражение для величины L несколько усложняется.
688. По мере уменьшения расстояния между проводниками уменьшается и величина L. Предел этого уменьшения наступает, когда проводники приходят в контакт, т.е. b=a+a'. В этом случае, если ===1,
L
=
2l
ln
(a+a')^2
aa'
+
1
2
.
(26)
Эта величина минимальна, если a=a'; тогда
L
=
2l
[ln 4+ 1/2 ]
=
2l
(1,8863)
=
3,7726l
.
(27)
Это является наименьшим значением величины самоиндукции сдвоенного круглого провода общей длиной 2l.
Так как обе части провода должны быть изолированы друг от друга, то фактически величина самоиндукции никогда не достигает этого предельного значения. Используя широкие плоские металлические полосы вместо круглых проводов, коэффициент самоиндукции можно уменьшать сколько угодно.
Об электродвижущей силе, необходимой для создания тока переменной плотности вдоль цилиндрического проводника
689. Когда ток в проводе имеет переменную плотность, то электродвижущая сила, возникающая в результате индукции тока на самого себя, различна на разных участках сечения провода, являясь в общем случае функцией как расстояния от оси провода, так и времени. Если бы мы предположили, что цилиндрический проводник состоит из пучка проводов, образующих один и тот же контур, и ток задаётся однородным в любой части сечения пучка, то метод вычисления, использованный выше, был бы применим строго. Если, однако, мы рассмотрим цилиндрический проводник как сплошное тело, внутри которого токи, подчиняясь действию электродвижущих сил, могут течь беспрепятственно, то плотность тока не будет одинаковой на различных расстояниях от оси цилиндра и сами электродвижущие силы будут зависеть от распределения тока в различных цилиндрических слоях провода.
В этом случае вектор-потенциал H, плотность тока w и электродвижущую напряжённость в любой точке следует рассматривать как функцию времени и расстояния от оси провода.
Полный ток C, протекающий через сечение провода и полную электродвижущую силу E, действующую вдоль контура, следует рассматривать, как переменные, связь между которыми мы и должны установить.
Предположим, что величина H равна
H
=
S
+
T
+
Tr^2
+…+
T
n
r
2n
+…
,
(1)
где S, T, T, … - функции времени.
Тогда из уравнения
d^2H
dr^2
+
1
2
dH
dr
=-
4w
(2)
мы находим
– w
=
T
+…+
n^2
T
n
r
2n-2
+…
.
(3)
Если удельное сопротивление вещества (на единицу объёма) обозначить через , то электродвижущая напряжённость в любой точке равна , что можно выразить через электрический потенциал и через вектор-потенциал H при помощи уравнения (В), п. 598:
w
=-
d
dz
–
dH
dt
,
(4)
или
– w
=
d
dz
+
dS
dt
+
dT
dt
+
dT
dt
r^2
+…+
dTn
dt
r
2n
+…
(5)
Сравнивая в уравнениях (3) и (5) коэффициенты при одинаковых степенях r, получаем
T
=
d
dz
+
dS
dt
+
dT
dt
,
(6)
T
=
1
2^2
dT
dt
,
(7)
T
n
=
1
n^2
dTn-1
dt
.
(8)
Следовательно, мы можем написать
dS
dt
=-
d
dz
,
(9)
T
=
T
,
T
=
dT
dt
, …
T
n
=
n
n
1
(n!)^2
dnT
dtn
.
(10)
690. Для нахождения полного тока C нам следует проинтегрировать w по всему сечению провода радиуса a:
C
=
2
a
0
wr
dr
.
(11)
Подставляя значения w из уравнения (3), получаем
C
=-(
Ta^2
+…+
nT
n
a
2n
+…)
.
(12)
Величина H в любой точке вне провода определяется только полным током C и не зависит от характера его распределения внутри провода. Поэтому можно принять значение H на поверхности провода равным AC, где A - постоянная величина, которую следует вычислять с учётом общей конфигурации контура. Полагая H=A при r=a, мы получаем
AC
=
S
+
T
+
Ta^2
+…+
T
n
a
n
2n
+…
.
(13)
Если далее записать a^2/=, где - величина проводимости на единицу длины провода, то мы будем иметь
C
=-
dT
dt
+
2^2
1^2·2^2
d^2T
dt^2
+…+
nn