Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Поправки, возникающие при учёте всех этих соображений, могут быть найдены методом среднегеометрического расстояния. Они пропорциональны длине всего провода в катушке и могут быть выражены как некоторые численные величины, на которые мы должны умножать длину провода, с тем чтобы получить поправку к коэффициенту самоиндукции.
Пусть диаметр провода равен d, провод покрыт изолирующим материалом и свернут в катушку. Мы будем предполагать, что сечения проводов располагаются в квадратном порядке, как это показано на рис. 45, и что расстояние между осью любого провода и осью провода, соседнего с ним, как по ширине, так и по глубине катушки равно D. Очевидно, что D больше d.
Рис. 45
Вначале мы должны определить превышение самоиндукции на единицу длины цилиндрического провода диаметра d по сравнению с проводом квадратного сечения со стороной, равной D, т.е.
2ln
R(для квадрата)
R(для окружности)
=
2
ln
D
d
+
4
3
ln 2
+
3
–
11
6
=
2
ln
D
d
+
0,1380606
.
Индуктивное действие ближайших восьми круглых проводов на рассматриваемый провод меньше, чем действие соответствующих восьми квадратных проводов на квадратный провод, помещённый в середине в 2·(0,01971) раза.
Поправками на влияние проводов, находящихся на больших расстояниях, можно пренебречь и общий корректирующий множитель записать в виде
2
ln
D
d
+
0,11835
.
Окончательное значение самоиндукции поэтому равно
L
=
n^2M
+
2l
ln
D
d
+
0,11835
,
где n - число витков, l - длина провода, M - взаимоиндукция двух контуров, имеющих форму среднего провода катушки и помещённых на расстояние R друг от друга, R - среднегеометрическое расстояние между парами точек сечения; D - расстояние между следующими друг за другом проводами, d - диаметр провода.
ГЛАВА XIV
КРУГОВЫЕ ТОКИ
Магнитный потенциал кругового тока
694. Магнитный потенциал, создаваемый в некоторой заданной точке контуром, несущим единичный ток, численно равен телесному углу с вершиной в этой точке, опирающемуся на контур, см. п. 409, 485.
В случае кругового контура телесный угол является телесным углом конуса второго порядка; для точки, находящейся на оси окружности, конус будет прямым. Если точка не находится на оси, конус является эллиптическим; его телесный угол равен площади сферического эллипса, вырезаемого им на сфере единичного радиуса.
Эта площадь может быть выражена в конечном виде через эллиптические интегралы третьего рода. Мы увидим, однако, что более удобно разложить её в виде бесконечного ряда по сферическим гармоникам, поскольку те удобства, которые сопутствуют выполнению математических операций с общим членом такого ряда, с избытком перевешивают хлопоты, связанные с подсчётом числа членов ряда, достаточного для обеспечения практической точности.
Будем считать для общности, что начало координат расположено в произвольной точке оси окружности, т.е. на линии, проходящей через центр окружности перпендикулярно её плоскости.
Рис. 46
Пусть точка O (рис. 46) является центром окружности, расположенная на оси точка C выбрана за начало координат, а точка H находится на самой окружности.
Проведём сферу радиусом CH с центром в точке C. Рассматриваемая нами окружность будет лежать на сфере, являясь её малой окружностью с «угловым радиусом» .
Обозначим CH=c, OC=b=c cos , OH=a=c sin .
Пусть A будет полюсом сферы, а Z - какой-нибудь точкой на оси и пусть CZ=z. Пусть R - произвольная точка в пространстве: CR=x, ACR=.
Пусть P - точка пересечения сферы отрезком CR.
Магнитный потенциал, создаваемый круговым током, равен потенциалу, создаваемому ограниченной этим током магнитной оболочкой с единичной мощностью. Поскольку форма поверхности оболочки безразлична (лишь бы она была ограничена данной окружностью), мы можем предположить, что она совпадает с поверхностью сферы.
В п. 670 мы показали, что если V есть потенциал, создаваемый слоем материи с единичной поверхностной плотностью, распределённой по участку поверхности сферы, ограниченному её малой окружностью, то потенциал , создаваемый магнитной оболочкой, которая ограничена этой же окружностью и имеет единичную мощность, равен
=-
1
c
d
dr
(rV)
.
Мы должны, таким образом, прежде всего найти V.
Пусть заданная точка Z находится на оси окружности, тогда та часть потенциала в Z, которая создаётся элементом dS, расположенным на сферической поверхности в точке P, равна dS/ZP.
Это выражение можно разложить в один из двух следующих рядов по сферическим гармоникам:
dS
c
P
+
P
z
c
+…+
P
i
zi
ci
+…
,
или
dS
z
P
+
P
c
z
+…+
P
i
ci
zi
+…
,
первый ряд сходится при значениях z меньших c, а второй - при z больших c.
Записав dS=-c^2dd и интегрируя по в пределах от 0 до 2 и по , - от cos до 1, находим
V
=
2c
1
cos
P
d
+…+
zi
ci
1
cos
P
i
d
+…
,
(1)
или
V
=
2c
c^2
z
1
cos
P
d
+…+
ci
zi
1
cos