Чтение онлайн

P

i

d

+…

.

(1')

Для Pi имеем характеристическое уравнение

i(i+1)

P

i

+

d

d

(1-^2)

dPi

d

=

0.

Следовательно,

1

P

i

d

=

1-^2

i(i+1)

dPi

d

.

(2)

Это выражение утрачивает смысл при i=0, но поскольку P, то

1

P

i

d

=

1-

.

(3)

Так как функция dPi/d возникает на каждом этапе этого исследования, мы будем обозначать её сокращённо через P'i. Величины P'i, соответствующие нескольким значениям i, даны в п. 698.

Теперь мы можем написать значение V в произвольной точке R, на оси или не на оси, путём замены r на z и умножения каждого из членов на зональную гармонику по того же порядка. Действительно, потенциал V должен допускать разложение в ряд по зональным гармоникам по с соответствующими коэффициентами. При =0 каждая из зональных гармоник обращается в единицу, и точка R лежит на оси. Следовательно, эти коэффициенты являются членами разложения V для точки, расположенной на оси. Таким образом, мы получаем два ряда:

V

=

2c

1-cos

+…+

sin^2

i(i+1)

ri

ci

P'

i

P

i

+…

,

(4)

или

V'

=

2

c^2

q

1-cos

+…+

sin^2

i(i+1)

ci

ri

P'

i

P

i

+…

.

(4')

695. Теперь мы можем, согласно методу п. 670, найти величину потенциала контура из уравнения

=-

1

c

d

dr

(Vr)

.

(5)

Отсюда получаем два ряда:

=

– 2

1-cos

+…+

sin^2

i

ri

ci

P'

i

P

i

+…

(6)

или

'

=

2

sin^2

1

2

c^2

r^2

P'

P

+…+

+

1

i+1

ci+1

ri+1

P'

i

P

i

+…

.

(6')

Ряд (6) сходится при всех значениях r меньших c, а ряд (6') сходится для всех значений r больших c. На поверхности сферы, где r=c, оба ряда дают одно и то же значение , если превышает , т.е. для точек, не занятых магнитной оболочкой; если же величина меньше , т.е. для точек, находящихся на магнитной оболочке,

'

=

+

4

.

(7)

Если принять центр окружности O за начало координат, мы должны положить =/2, и тогда ряды станут такими:

=

– 2

1+

r

c

P

+…+

+

(-)

s

1·3…(2s-1)

2·4…2s

r2s+1

c2s+1

P

2s+1

+…

,

(8)

=

+2

1

2

c^2

r^2

P

+…+

+

(-)

s

1·3…(2s+1)

2·4…(2s+2)

c2s+2

r2s+2

P

2s+1

+…

,

(9)

где все гармоники являются гармониками нечётного порядка 1.

1 Величина телесного угла, опирающегося на окружность, может быть получена более непосредственным путём, а именно:

Телесный угол, опирающийся на окружность, с вершиной в точке Z, находящейся на оси, как легко показать, равен = 2

1-

z-c cos

HZ

.

Разлагая это выражение по сферическим гармоникам, находим = 2

(cos +1) + (P cos - P)

z

c +…+ + (P cos - Pi-1)

zi

ci +…

,

эти разложения справедливы для точек на оси при z меньших и больших c соответственно.

Легко показать, что эти результаты совпадают с полученными в тексте.

О потенциальной энергии двух круговых токов

696. Предположим вначале, что две магнитные оболочки, эквивалентные этим токам, представляют собой участки двух концентричных сфер, имеющих радиусы c и c, причём c больше c (рис. 47). Предположим также, что оси обеих оболочек совпадают и что и - это углы с вершинами в центре C, опирающиеся на радиус первой оболочки и на радиус второй оболочки соответственно.

Рис. 47

Пусть - потенциал, создаваемый первой оболочкой в произвольной точке, находящейся на этой же оболочке; тогда работа, необходимая для удаления второй оболочки на бесконечное расстояние, выражается величиной следующего поверхностного интеграла:

M

=-

d

dr

dS

,

распространённого на всю вторую оболочку. Следовательно,

M

=

1

d

dr

2c^2

d

,

=

4^2

sin^2

c^2

1

c

P'

1

P

+…+

+

ci-1

ci

P'

i

1

P

i

+…

,

или, подставляя значения интегралов из уравнения (2) п. 694,

M

=

4^2

sin^2

sin^2

c

<