Чтение онлайн

Если A=a, то ctg =b/(2a) и

dM

db

=

– 2

cos

{

2F

–

(1+sec^2)E

}.

Величина -dM/db характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.

Ввиду важности величины M для электромагнитных вычислений значения ln (M/4Aa), являющегося функцией b и, следовательно, только , протабулированы в интервале углов от 60 до 90 градусов через 6'.

Второе выражение для M

Другое выражение для M, иногда более удобное, получается, если положить c=(r-r)/(r+r); в этом случае

M

=

8

Aa

1

c

{

F(c)

+

E(c)

}.

Как проводить линии магнитной силы для кругового тока

702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина M постоянна.

Вычислим величину

K

=

sin

(Fsin – Esin )^2

из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений .

Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат x и z; построим окружность с центром в точке x=(a/2)(sin +cosec ) с радиусом (a/2)(sin -cosec ). Для всех точек этой окружности величина c будет равна, sin . Следовательно, для всех точек этой окружности

M

=

8

Aa

1

K

,

A

=

1

64^2

M^2K

a

.

Теперь A является тем значением x, для которого была найдена величина M. Таким образом, если мы проведём линию, на которой x=A, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение M.

Задавая последовательно значения величины M, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для A получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных z, на которых x принимает найденные значения A, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.

Если положить m=8a и M=nm, то A=x=n^2Ka.. Величину n мы можем назвать индексом линии силы.

Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» 2.

2Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).

703. Если положение окружности, ось которой известна, считать заданным через расстояние b от её центра до какой-либо фиксированной точки на оси и через её радиус a, то коэффициент индукции M окружности по отношению к произвольной системе, состоящей из магнитов или токов, подчиняется следующему уравнению:

d^2M

da^2

+

d^2M

db^2

–

1

a

dM

da

=

0.

(1)

Чтобы доказать это, посмотрим, какое число линий магнитной силы будет пересекать окружность, если менять a или b.

(1). Пусть а становится равным a+a, а b остаётся постоянным. При такой вариации окружность, расширяясь, прочертит в своей плоскости кольцевую площадку шириной a.

Если через V обозначить магнитный потенциал в произвольной точке, а ось y направить параллельно оси окружности, то магнитная сила, перпендикулярная плоскости кольца, будет равна -dV/dy.

Для того чтобы найти поток магнитной индукции через эту кольцевую поверхность, мы должны взять интеграл

–

2

0

aa

dV

dy

d

,

где есть угловое положение точки на кольце.

Но эта величина представляет собой вариацию M, обусловленную изменением a, т.е. (dM/da)a. Отсюда

dM

da

=-

2

0

a

dV

dy

d

.

(2)

(2). Пусть b принимает значение b+b, а a остаётся постоянным. При такой вариации окружность прочерчивает цилиндрическую поверхность радиуса a длиной b.

Магнитная сила, перпендикулярная к этой поверхности, равна в любой точке величине dV/dr, где r - расстояние от оси.

Отсюда

dM

db

=

2

0

a

dV

dr

d

.

(3)

Дифференцируя уравнение (2) по a и уравнение (3) по b, получаем

d^2M

da^2

=-

2

0

dV

dy

d

–

2

0

a

d^2V

drdy

d

,

(4)

d^2M

db^2

=

2

0

a

d^2V

drdy

d

.

(5)

Следовательно,

d^2M

da^2

+

d^2M

db^2

=

–

2

0

dV

dy

d

=

1

a

dM

da

,

согласно (2).

(6)

Перенося последний член в левую часть, мы получаем уравнение (1).

Коэффициент индукции двух параллельных окружностей в случае, когда расстояние между их дугами мало по сравнению с радиусами обеих окружностей

704. Для этого случая мы могли бы получить величину M из разложения приведённых выше эллиптических интегралов при близких к единице значениях их модуля. Однако метод, который последует далее, представляет собой более непосредственное применение электрических принципов.

Первое приближение

Пусть радиусы окружностей равны a и a+c, а расстояние между их плоскостями равно b; тогда кратчайшее расстояние между дугами окружностей равно r=c^2+b^2.

Мы должны найти поток магнитной индукции сквозь одну из окружностей, обусловленный единичным током, протекающим по другой окружности.

Мы начнём с предположения, что обе окружности лежат в одной плоскости. Рассмотрим малый элемент s окружности, радиус которой равен a+c. В точке, находящейся в плоскости окружности на расстоянии от середины s и в направлении, образующим с направлением s угол , магнитная сила, обусловленная элементом s, перпендикулярна плоскости окружности и равна (1/^2) sin s.