Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
1
2
c
c
P'
P'
+…+
+
1
i(i+1)
ci
ci
P'
i
P'
i
+…
.
697. Предположим теперь, что ось одной из оболочек повёрнута относительно точки C, взятой за центр, и составляет с осью другой оболочки угол (рис. 48).
Рис. 48
Нам нужно только ввести в выражение для M зональные гармоники по , и мы найдём более общую формулу для M:
M
=
4^2
sin^2
sin^2
c^2
1
2
c
c
P'
P'
P
+…+
+
1
i(i+1)
ci
ci
P'
i
P'
i
P
i
+…
.
Это и есть величина потенциальной энергии, обусловленной взаимным действием двух круговых токов единичной силы, расположенных так, что нормали, проходящие через центры кругов, пересекаются друг с другом в точке C под углом , причём расстояния от периметров окружностей до точки C равны c и c, и c больше c.
Если какое-то смещение dx меняет значение M, то сила, действующая в направлении этого смещения, есть X=dM/dx.
Например, если ось одной из оболочек может свободно вращаться вокруг точки C, вызывая изменение , то момент силы, стремящийся увеличить , равен , где =dM/d.
Выполняя дифференцирование и помня, что
dPi
d
=-
sin
P'
i
где P'i имеет тот же смысл, что и в предыдущих уравнениях, получим
=
– 4^2
sin^2
sin^2
sin
c
x
x
1
2
c
c
P'
P'
P'
+…+
+
1
i(i+1)
ci
ci
P'
i
P'
i
P'
i
+…
.
698. В связи с тем что в этих вычислениях часто встречаются величины P'i, может оказаться полезной следующая таблица выражений для функций P'i первых шести порядков; в этой таблице вместо cos фигурирует и вместо sin :
P'
=
1,
P'
=
3,
P'
=
3
2
(5^2-1)
=
6
^2
–
1
4
^2
,
P'
=
5
2
(7^2-3)
=
10
^2
–
3
4
^2
,
P'
=
15
8
(21-14^2+1)
=
15
–
3
2
^2^2
+
1
8
,
P'
=
21
8
(33-33^2+5)
=
21
–
5
2
^2^2
+
5
8
.
699. Иногда удобно представить ряды для M как функции некоторых «линейных» величин следующим образом.
Пусть a - радиус малого контура, b - расстояние от начала координат до плоскости контура и c=a^2+b^2.
Пусть A B и C - соответствующие величины для большого контура.
Тогда ряды для M могут быть записаны в виде
M
=
1·2·^2
A^2
C^3
a^2
cos
+
2·3·^2
A^2B
C
a^2b
(cos^2- 1/2 sin^2)
+
3·4·^2
A^2(B^2- 1/4 A^2)
C
a^2(b^2- 1/4 a^2)
x
x
(cos^3
–
3
2
sin^2cos )
+
…
.
Если положить =0, то две окружности будут параллельными и будут иметь общую ось. Для того чтобы определить притяжение между ними, мы можем продифференцировать M по b. В результате найдём
dM
db
=
^2
A^2a^2
C
2·3
B
C
+
2·3·4
B^2- 1/4 A^2
C^3
b
+…
.
700. Чтобы вычислить действие катушки прямоугольного сечения, мы должны найденное выражение проинтегрировать по радиусу катушки A и по расстоянию B от её плоскости до начала координат, распространив интегрирование на всю ширину и высоту катушки.
В некоторых случаях непосредственное интегрирование наиболее удобно, однако существуют и другие случаи, когда к более полезным результатам приводит следующий метод аппроксимации.
Пусть P - произвольная функция x и y, требуется найти значение P, где
P
xy
=
+ 1/2 x
– 1/2 x
+ 1/2 y
– 1/2 y
P
dx
dy
.
В этом выражении P есть среднее значение P внутри пределов интегрирования.
Обозначим через P значение P при x=0 и y=0, тогда, разлагая P по теореме Тейлора, получим
P
=
P
+
x
dP
dx
+
y
dP
dy
+
1
2