Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
{
A(-x)
+
B(-y)
+
C(-z)
}
1
r^3
dx
dy
dz
.
(7)
Чтобы получить потенциал, создаваемый в точке (,,) магнитом конечных размеров, необходимо найти интеграл от этого выражения по всем элементам объёма, входящим в пространство, занятого магнитом, т.е.
V
=
{
A(-x)
+
B(-y)
+
C(-z)
}
1
r^3
dx
dy
dz
.
(8)
После интегрирования по частям получаем
V
=
A
1
r
dy
dz
+
B
1
r
dz
dx
+
C
1
r
dx
dy
–
–
1
r
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
dx
dy
dz
,
где двойной интеграл в первых трёх членах берётся по поверхности магнита, а тройной интеграл в четвёртом члене - по его объёму.
Обозначим через l, m, n направляющие косинусы нормали, направленной из элемента поверхности dS наружу, тогда, как и в п. 21, для суммы первых трёх членов можно написать
(
lA
+
mB
+
nC
)
1
r
dS
,
где интегрирование распространяется на всю поверхность магнита.
Если ввести теперь новые обозначения и , определив их с помощью равенств
=
lA
+
mB
+
nC
,
=-
dA
dx
+
dB
dy
+
dC
dz
,
то выражение для потенциала может быть записано в виде
V
=
r
dS
+
r
dx
dy
dz
.
386. Это совпадает с выражением для электрического потенциала, создаваемого телом, на поверхности которого существует электризация с поверхностной плотностью и одновременно во всём веществе которого имеется объёмная электризация с объёмной плотностью . Следовательно, если считать величины и поверхностной и объёмной плотностями распределения некоторого воображаемого вещества, названного нами «магнитной материей», то потенциал, обусловленный ими, будет равен потенциалу, создаваемому истинной намагниченностью всех элементов объёма.
Поверхностная плотность есть составляющая намагниченности вдоль направления внешней нормали к поверхности, а объёмная плотность есть «конвергенция» (см. п. 25) намагниченности в данной точке магнита.
Этот метод представления действия магнита как действия, обусловленного распределением «магнитной материи», очень удобен, однако всегда следует помнить, что он является лишь искусственным приёмом описания действия, создаваемого некоторой системой поляризованных частиц.
О действии одной магнитной молекулы на другую
387. Если, как и в п. 129 б главы о сферических гармониках, положить
d
dh
=
l
d
dx
+
m
d
dy
+
n
d
dz
,
(1)
где l, m, n - направляющие косинусы оси h то потенциал, обусловленный магнитной молекулой с магнитным моментом m1 и осью, параллельной h1 помещённой в начало координат, будет равен
V
1
=-
d
m
1
=
m
1
1
,
dh
1
r
r^2
(2)
где 1– косинус угла между h1 и r.
Если имеется вторая магнитная молекула с моментом m2 и осью, параллельной h2, помещённая в точке, где оканчивается радиус-вектор r, то потенциальная, энергия, обусловленная действием одного магнита на другой, будет равна
W
=
m
2
dV
dh2
=-
m
1
m
2
d^2
dh1dh2
1
r
,
(3)
=
m1m2
r^3
(
12
– 3
1
2
)
,
(4)
где 12– косинус угла между осями, а 1 и 2 косинусы углов между радиус-вектором и осями.
Определим далее момент пары сил, с которым первый магнит стремится повернуть второй вокруг его центра.
Предположим, что второй магнит повернулся на угол d в плоскости, перпендикулярной некоторой третьей оси h3; тогда работа, совершенная против магнитных сил, будет равна (dW/d)d, а момент сил, действующий на магнит в этой плоскости,
–
dW
d
=-
m1m2
r^3
d12
d
–
3
1
d2
d
.
(5)
Истинный момент, действующий на второй магнит, можно, следовательно, рассматривать как результирующую двух пар сил: первая действует в плоскости, параллельной осям обоих магнитов, и стремится увеличить угол между ними; её момент равен
m1m2
r^3
sin(h
1
h
2
)
,
(6)
в то время как вторая действует в плоскости, проходящей через r и ось второго магнита, и стремится уменьшить угол между этими направлениями; она имеет момент
3m1m2
r^3
cos(rh
1
)
sin(rh
2
)
,