Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
(
A
+
B
+
C
)
dx
dy
dz
,
(6)
где , , и - составляющие внешней магнитной силы.
О магнитном моменте и оси магнита
390. Если во всём пространстве, занятом магнитом, внешняя магнитная сила однородна и по направлению, и по величине, то составляющие , , постоянны. Записав
A
dx
dy
dz
=
lK
,
B
dx
dy
dz
=
mK
,
C
dx
dy
dz
=
nK
(7)
и распространив интегрирование на всё вещество магнита, величину W можно представить в виде
W
=
– K
(
l
+
m
+
n
).
(8)
В этом выражении l, m, n - направляющие косинусы оси магнита, K - его магнитный момент. Если обозначить через угол между осью магнита и направлением магнитной силы H то величину W можно переписать так:
W
=
– K
H
cos
.
(9)
Если магнит подвешен таким образом, что он может свободно вращаться, как обычная компасная стрелка, вокруг своей вертикальной оси, то, предположив, что он имеет азимут и наклонён на угол относительно горизонтальной плоскости, а направление силы земного магнетизма имеет азимут и наклонение , получим
=
Hcos cos ,
=
Hcos sin ,
=
H sin ;
(10)
l
=
cos cos ,
m
=
cos sin ,
m
=
sin ;
(11)
Откуда следует
W
=
– K
{
cos
cos
cos (-)
+
sin
sin
}.
(12)
Момент силы, стремящейся повернуть магнит вокруг вертикальной оси и увеличить угол , равен
–
dW
d
=
– KH
cos
cos
sin (-)
.
(13)
О разложении потенциала магнита по пространственным гармоникам
391. Пусть V - потенциал, создаваемый единичным полюсом, помещённым в точку (,,), его значение в точке x, y, z равно
V
=
{
(-x)^2
+
(-y)^2
+
(-z)^2
}
– 1/2
.
(1)
Это выражение можно разложить по сферическим гармоникам с центром в начале координат. Будем иметь тогда
V
=
V
0
+
V
1
+
V
2
+ и т.д.
(2)
где
V
0
=(1/r)
,
(3)
r - расстояние до точки (,,) от начала координат,
V
1
=
x+y+z
r^3
,
(4)
V
2
=
3(x+y+z)-(x^2+y^2+z^2)(^2+^2+^2)
2r5
,
(5)
и т.д.
Для того чтобы определить величину потенциальной энергии магнита, помещённого в поле силы, определяемой этим потенциалом, необходимо проинтегрировать выражение для W в уравнении (3) п. 389 по x, y и z, считая , , и r постоянными.
Если рассмотреть только члены, представляемые гармониками V0, V1 и V2, то результат будет зависеть от следующих объёмных интегралов:
lK
=
A
dx
dy
dz
,
mK
=
B
dx
dy
dz
,
mK
=
C
dx
dy
dz
;
(6)
L
=
Ax
dx
dy
dz
,
M
=
By
dx
dy
dz
,
N
=
Cz
dx
dy
dz
;
(7)
P
=
(Bz+Cy)
dx
dy
dz
,
Q
=
(Cx+Az)
dx
dy
dz
,
R
=
(Ay+Bx)
dx
dy
dz
.
(8)
Таким образом, для величины потенциальной энергии магнита в присутствии единичного полюса, находящегося в точке (,,), находим
W
=
K
l+m+n
r^3
+
^2(2L-M-N)+^2(2M-N-L)
r5
+
+
3(P+Q+R)
r5
+ и т.д.
(9)
Это выражение можно также рассматривать как потенциальную энергию единичного полюса в присутствии магнита или просто как создаваемый магнитом потенциал в точке (,,).
О центре магнита и о главной и побочных осях магнита
392. Это выражение можно упростить, изменив направление координатных осей и положение начала координат. Прежде всего направим ось x параллельно оси магнита. Это эквивалентно тому, что
l
=
1,
m
=
0,
n
=
0.
(10)
Если перенести начало координат в точку (x',y',z'), сохранив направление осей, то объёмные интегралы lK, mK и nK останутся неизменными, а остальные изменятся следующим образом: