Чтение онлайн

Рис. 2

Разумеется, при выполнении этого опыта мы должны принимать во внимание земной магнетизм, если он существен.

Пусть второй магнит находится в положении устойчивого равновесия относительно своего направления, тогда действующая на него пара сил исчезает, и поэтому его ось должна располагаться в одной плоскости с осью первого магнита. Следовательно,

h

1

h

2

=

(h

1

r)

+

(h

2

r)

,

(16)

и момент пары сил, равный

m1m2

r3

(

sin(h

1

h

2

)

–

3cos(h

1

r)

sin(rh

2

)

),

(17)

обращается в нуль, как мы видим, при условии

tg(h

1

r)

=

2tg(rh

2

)

,

(18)

или

tg H

1

m

2

R

=

2tg Rm

2

H

1

.

(19)

Когда второй магнит занимает это положение, значение W становится равным m2(dV1/dh2), где h2– направление силовой линии в точке m2, определяемое действием магнита m1. Следовательно,

W

=

– m

2

dV1

dx

^2

+

dV1

dy

^2

+

dV1

dz

^2

1/2

,

(20)

т.е. второй магнит будет стремиться двигаться туда, где результирующая сила больше.

Сила, действующая на второй магнит, может быть разложена на силу R, которая в этом случае всегда является силой притяжения к первому магниту, и силу H1, параллельную оси первого магнита:

R

=

3

m

1

m

2

4

1

^2+1

, H

=

3

m

1

m

2

1

.

r

4

3

1

^2+1

r

4

3

1

^2+1

(21)

На рис. XIV в конце этого тома нарисованы силовые линии и эквипотенциальные поверхности в двумерном случае. Предполагается, что они создаются магнитами в виде двух длинных цилиндрических поперечно намагниченных стержней, сечения которых показаны полыми кружками, а направление намагниченности - стрелками.

Если вспомнить о наличии натяжения вдоль силовых линий, то легко понять, что каждый из магнитов будет стремиться повернуться в направлении движения часовой стрелки.

Кроме того, в целом правый магнит будет стремиться смещаться вверх по странице, а левый магнит - вниз.

О потенциальной энергии магнита, помещённого в магнитное поле

389. Пусть V - магнитный потенциал, создаваемый любой системой магнитов, действующих на данный рассматриваемый магнит. Будем называть его потенциалом внешней магнитной силы.

Если маленький магнит длиной ds расположен так, что его положительный полюс величины m находится в точке с потенциалом V, а отрицательный - в точке с потенциалом V', то потенциальная энергия этого магнита будет равна m(V-V') или, если соизмеряется от отрицательного полюса к положительному,

m

dV

ds

ds

.

(1)

Если I - величина намагниченности, , , - её направляющие косинусы, то можно написать

m

ds

=

I

dx

dy

dz

и

dV

ds

=

dV

dx

+

dV

dy

+

dV

dz

,

и, наконец, если A, B, C - составляющие намагниченности, то A=I, B=I, C=I, так что выражение (1) для потенциальной энергии элемента магнита станет таким:

A

dV

dx

+

B

dV

dy

+

C

dV

dz

dx

dy

dz

.

(2)

Чтобы получить потенциальную энергию магнита конечных размеров, необходимо проинтегрировать это выражение по всем элементам магнита. Таким образом получим

W

=

A

dV

dx

+

B

dV

dy

+

C

dV

dz

dx

dy

dz

.

(3)

Это и есть потенциальная энергия магнита относительно магнитного поля, в которое он помещён.

Она выражена здесь через составляющие намагниченности и магнитной силы, возникающей от внешних источников.

Интегрируя по частям, мы можем выразить её через распределение магнитной материи и магнитного потенциала:

W

=

(

Al

+

Bm

+

Cn

)

V

dS

–

(4)

–

V

dA

dx

+

dB

dy

+

dC

dz

dx

dy

dz

,

где l, m, n - направляющие косинусы нормали к элементу поверхности dS. Подстановка в это уравнение выражений для поверхностной и объёмной плотностей магнитной материи, приведённых в п. 385, даёт

W

=

V

dS

+

V

dx

dy

dz

.

(5)

Уравнение (3) можно переписать в виде

W

=

–