Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
(7)
где через (rh1), (rh2), (h1h2) обозначены углы между линиями r, h1, h2.
Для определения силы, действующей на второй магнит в направлении, параллельном линии h3, необходимо вычислить
–
dV
dh3
=
m
1
m
2
d^3
dh1dh2dh3
1
r
,
(8)
=
– m
1
m
2
3!Y3
r4
(по п. 129в),
=
3
m1m2
r4
{
1
23
+
2
31
+
3
12
+
1
2
3
}
(9)
(по п. 133),
=
3
3
m1m2
r4
(
12
– 5
1
2
)
+
3
13
m1m2
r4
2
+
(10)
+
3
23
m1m2
r4
1
.
Предположим, что истинная сила состоит из трёх сил - R, H1 и H2, действующих соответственно в направлениях r, h1 и h2, тогда сила в направлении h3 будет равна
3
R
+
13
H
1
+
23
H
2
.
(11)
Поскольку направление h3 произвольно, мы должны иметь
R
=
3m1m2
r4
(
12
– 5
1
2
)
,
H
1
=
3m1m2
r4
2
,
H
2
=
3m1m2
r4
1
.
(12)
Сила R является отталкивающей - она стремится увеличить r; силы H1 и H2 действуют на второй магнит в направлении осей первого и второго магнита соответственно.
Этот анализ сил, действующих между двумя маленькими магнитами, был впервые проведён профессором Тэтом в терминах кватернионного анализа в Quarterly Math. Journ. за январь 1860. См. также его работу по кватернионам (Quaternions, Arts 442-443, 2nd Edition).
Частные случаи расположения магнитов
388. (1). Если 1 и 2 одинаковы и равны единице, т.е. оси магнитов лежат на одной прямой и направлены вдоль неё, то 12=1 и сила отталкивания между магнитами будет равна
R
+
H
1
+
H
2
=-
6m1m2
r4
(13)
Отрицательный знак указывает на притяжение.
(2). Если 1 и 1 равны нулю, а 12– единице, т.е. оси магнитов параллельны друг другу и перпендикулярны r, то сила окажется отталкивающей и равной
3m1m2
r4
(14)
ни в одном из этих случаев не возникает никаких вращающих моментов.
(3). Если
1
=1
и
2
=0
, то
12
=1
.
(15)
Сила 3m1m2/r4 будет действовать на второй магнит в направлении его оси, а пара сил с моментом 2m1m2/r3 будет стремиться развернуть его параллельно первому магниту. Это эквивалентно действию одной силы 3m1m2/r4, параллельной оси второго магнита и пересекающей радиус-вектор r в точке, отстоящей от m2 на расстоянии двух третей его длины.
Рис. 1
На рис. 1 показаны плавающие на воде два магнита: магнит m2 расположен на оси магнита m1, а его собственная ось перпендикулярна оси m1, две точки A и B, жёстко связанные соответственно с m1 и m2, соединены между собой нитью T. Система будет находиться в равновесии, если T пересечёт линию m1m2 под прямым углом в точке, отстоящей от m1 на одну треть расстояния между m1 и m2.
(4) Если позволить второму магниту свободно вращаться вокруг своего центра, пока он не придёт в положение устойчивого равновесия, то при этом энергия W окажется минимальной по h2 и, следовательно, созданная магнитом m2 составляющая силы в направлении h1 будет иметь максимум. Таким образом, если мы хотим с помощью магнитов с фиксированным положением центров создать в данной точке и вдоль заданного направления максимально возможную магнитную силу, то для определения нужных направлений осей магнитов, при которых достигается этот эффект, необходимо: поместить один из магнитов в заданную точку, установив его в требуемом направлении; поместить центр другого магнита в любую из остальных задаваемых точек и установить положение его оси в состоянии устойчивого равновесия. После этого следует разместить все магниты так, чтобы их оси были установлены в направлениях, указанных вторым магнитом [рис. 2].