Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
+
nc
=
0,
(19)
называются поверхностями с нулевым потоком индукции, а пересечение двух этих поверхностей называется линией индукции. Условия, при которых некоторая кривая s может быть линией индукции, таковы:
1
a
dx
ds
=
1
b
dy
ds
=
1
c
dz
ds
(20)
Совокупность линий индукции, проведённых через каждую точку замкнутой кривой, образует трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции.
Поток индукции через любое сечение такой трубки одинаков. Если поток индукции в трубке равен единице, она называется единичной трубкой индукции.
Всё, что Фарадей2 говорит о магнитных силовых линиях и магнитных «спондилоидах» (sphondiloids), математически верно, если под ними понимать линии и трубки магнитной индукции.
2 Exp. Res., series XXVIII.
Вне магнита магнитная сила и магнитная индукция совпадают, однако внутри вещества магнита их следует тщательно различать.
В случае прямого однородно намагниченного стержня магнитная сила, создаваемая самим магнитом, направлена от конца, указывающего на север (мы называем его положительным полюсом), к южному концу (отрицательному полюсу) как внутри магнита, так и вне его.
С другой стороны, магнитная индукция вне магнита тоже направлена от положительного полюса к отрицательному, но внутри магнита - от отрицательного полюса к положительному, так что линии и трубки индукции образуют сами в себя входящие, или замкнутые, кривые.
Важность магнитной индукции как физического понятия будет видна более отчётливо при изучении электромагнитных явлений. Когда магнитное поле создаётся движущимся проводом, как в опытах Фарадея (Exp. Res. 3076), непосредственно измеряемой величиной является именно магнитная индукция, а не магнитная сила.
Вектор-потенциал магнитной индукции
405. Как показано в п. 403, поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит от этой кривой, но не зависит от формы ограничиваемой ею поверхности; поэтому должен существовать способ определения потока индукции внутри замкнутой кривой с помощью процедуры, зависящей только от характера кривой и не включающей конструкцию поверхности, которая диафрагмирует эту кривую.
Это можно сделать, отыскав вектор A, связанный с магнитной индукцией B таким образом, чтобы линейный интеграл от A по замкнутой кривой был равен поверхностному интегралу от по поверхности, ограниченной этой кривой.
Обозначив, как и в п. 24, через F, G, H составляющие A, через a, b, c составляющие B, получим между ними следующую связь:
a
=
dH
dy
–
dG
dz
,
b
=
dF
dz
–
dH
dx
,
c
=
dG
dx
–
dF
dy
.
(21)
Вектор A с составляющими F, G, H называется вектор-потенциалом магнитной индукции.
Поместим в начало координат магнитную молекулу с моментом m и направлением оси намагниченности (,,). Согласно п. 387, её потенциал в точке (x,y,z), на расстоянии r от начала координат будет равен
– m
d
dx
+
d
dy
+
d
dz
1
r
;
c
=
m
d^2
dxdz
+
d^2
dydz
+
d^2
dz^2
1
r
.
С помощью уравнения Лапласа последнему выражению можно придать вид
m
d
dx
d
dz
–
d
dx
1
r
–
m
d
dy
d
dy
–
d
dz
1
r
.
Аналогично можно преобразовать величины a, b.
Следовательно,
F
=
m
d
dy
–
d
dz
1
r
=
m(z-y)
r^3
.
Составляющие G, H можно получить из этого выражения, руководствуясь симметрией. Таким образом, вектор-потенциал в данной точке, создаваемый намагниченной частицей, помещённой в начало координат, численно равен магнитному моменту этой частицы, делённому на квадрат радиус-вектора и умноженному на синус угла между осью намагниченности и радиус-вектором; направление вектор-потенциала перпендикулярно плоскости оси намагниченности и радиус-вектора, причём если смотреть в положительном направлении оси намагниченности, то вектор-потенциал указывает в направлении движения часовой стрелки.
Следовательно, для магнита произвольной формы с составляющими намагниченности A, B, C в точке (x,y,z) составляющие вектор-потенциала в точке (,,) равны
F
=
B
dp
dz
–
C
dp
dy
dx
dy
dz
,
G
=
C
dp
dx
–
A
dp
dz
dx
dy
dz
,
H
=
A
dp
dy
–
A
dp
dx
dx
dy
dz
,
(22)
где через p для краткости обозначено обратное расстояние между точками (,,) и (x,y,z), а интегрирование распространяется на весь объём, занятый магнитом.
406. Скалярный, или обычный, потенциал магнитной силы, введённый в п. 385, в этих обозначениях принимает вид
V
=
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
.
(23)
Помня, что
dp
dx
= -
dp
d
и что интеграл
A
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
равен -4(A), когда точка (,,), находится внутри объёма интегрирования, и нулю, когда она вне его, где (A) - значение A в точке (,,), получаем для x-составляющей магнитной индукции