Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Три вектора: намагниченность J, магнитная сила H и магнитная индукция B, связаны векторным равенством
B
=
H
+
4J
.
(7)
Криволинейный интеграл от магнитной силы
401. Поскольку магнитная сила, определённая в п. 398, обусловлена свободным магнетизмом, распределённым как на поверхности магнита, так и внутреннего, и не зависит от поверхностного магнетизма полости, её можно вычислить непосредственно из общего выражения для потенциала магнита; криволинейный интеграл от магнитной силы, взятый вдоль произвольной кривой между точками A и B, равен
B
A
dx
ds
+
dy
ds
+
dz
ds
ds
=
V
A
– V
B
,
(8)
где через VA и VB обозначены потенциалы в точках A и B соответственно.
Поверхностный интеграл от магнитной индукции
402. Поток магнитной индукции через поверхность S определяется как величина интеграла
Q
=
B
cos
dS
,
(9)
где B - величина магнитной индукции на элементе поверхности dS, - угол между направлением индукции и нормалью к элементу поверхности; интегрирование распространяется на всю поверхность, которая может быть либо замкнутой поверхностью, либо поверхностью, ограниченной некоторой замкнутой кривой.
Если обозначить составляющие магнитной индукции через a, b, c и направляющие косинусы нормали через l, m, n, то поверхностный интеграл может быть записан в виде
Q
=
(
la
+
mb
+
nc
)
dS
.
(10)
Выражая составляющие магнитной индукции через составляющие намагниченности и магнитной силы, как в п. 400, получим
Q
=
(
l
+
m
+
n
)
dS
+
4
(
lA
+
mB
+
nC
)
dS
.
(11)
Предположим теперь, что поверхность, по которой производится интегрирование, замкнута, и исследуем значения величин двух членов в правой части этого уравнения.
Математическая форма связи между магнитной силой и свободным магнетизмом такая же, как между электрической силой и свободным электричеством, поэтому мы можем применить результаты п. 77 к первому члену выражения для Q, заменив составляющие электрической силы X, Y, Z в п. 77 на составляющие магнитной силы , , , а алгебраическую сумму свободного электричества e на алгебраическую сумму свободного магнетизма M.
Таким образом, получаем уравнение
(
l
+
m
+
n
)
dS
=
4M
.
(12)
Так как каждая магнитная частица имеет два полюса одинаковой величины и противоположных знаков, алгебраическая сумма магнетизма частицы равна нулю. Поэтому частицы, которые целиком находятся внутри замкнутой поверхности S, не могут дать вклада в алгебраическую сумму магнетизма внутри S, т.е. величина M должна зависеть только от магнитных частиц, которые рассечены поверхностью S.
Рассмотрим маленький элемент магнита длиной s с поперечным сечением k^2, намагниченный в направлении его длины так, что мощность его полюсов равна m Момент этого небольшого магнита равен ms, а намагниченность, равная от ношению магнитного момента к объёму,
I
=
m
k^2
(13)
Пусть этот маленький магнит так рассечён поверхностью S, что направление намагниченности образует с наружной нормалью к поверхности угол ', тогда, если обозначить через dS площадь сечения,
k^2
=
dS
cos '
.
(14)
Отрицательный полюс этого магнита -m находится внутри поверхности S.
Следовательно, если обозначить через dM вклад этого маленького магнита в ту часть свободного магнетизма, которая находится внутри S, то
dM
=
– m
=
– Ik^2
=
– I
cos '
dS
.
(15)
Для того чтобы найти алгебраическую сумму свободного магнетизма M внутри замкнутой поверхности S, необходимо проинтегрировать это выражение по замкнутой поверхности S:
M
=-
I
cos '
dS
,
или через составляющие намагниченности A, B, C и направляющие косинусы наружной нормали l, m, n:
M
=-
(
lA
+
mB
+
nC
)
dS
.
(16)
Это даёт значение интеграла во втором члене правой части уравнения (11). Величину Q в (11) можно, таким образом, найти, используя уравнения (12) и (16):
Q
=
4M
–
4M
=
0,
(17)
или интеграл от магнитной индукции, взятый по произвольной замкнутой поверхности, равен нулю.
403. Если предположить, что замкнутая поверхность есть поверхность дифференциального элемента объёма dxdydz, мы получим уравнение
da
dx
+
db
dy
+
dc
dz
=
0.
(18)
Это есть условие соленоидальности, которому всегда удовлетворяют составляющие магнитной индукции.
Так как распределение магнитной индукции соленоидально, то поток индукции через любую поверхность, ограниченную замкнутой кривой, зависит только от формы и положения этой замкнутой кривой и не зависит от формы и положения самой поверхности.
404. Поверхности, во всех точках которых
la
+
mb