Чтение онлайн

ГЛАВА VIII

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВТОРИЧНОГО КОНТУРА

585. В п. 582, 583, 584 мы доказали, что электромагнитное действие между первичным и вторичным контурами зависит от некоторой величины, являющейся функцией формы и относительного положения двух контуров и обозначенной нами через M.

Хотя эта величина M фактически представляет собой то же самое, что и потенциал двух контуров, математическую форму и свойства которого мы вывели в п. 423, 521, 539, исходя из магнитных и электромагнитных явлений, не будем здесь ссылаться на эти результаты, а начнём сначала, с нового обоснования, не делая никаких иных допущений, кроме установленных в главе VII для динамической теории.

Электрокинетический импульс вторичного контура состоит из двух частей (п. 578): одна, Mi1 зависит от первичного тока i1 а вторая, Ni1, - от вторичного тока i2. Мы будем исследовать сейчас первую из этих частей, которую обозначим через p:

p

=

Mi

1

.

(1)

Мы предположим также, что первичный контур неподвижен, а ток в нём постоянен. Величина p, являющаяся электрокинетическим импульсом вторичного контура, будет в этом случае зависеть только от формы и положения вторичного контура; если в качестве вторичного контура взять произвольную замкнутую кривую, приняв какое-либо направление вдоль неё за положительное, то величина p для этой замкнутой кривой будет определена; если же положительным было бы выбрано противоположное направление вдоль этой кривой, то знак p сменился бы на противоположный.

586. Так как величина р зависит от формы и положения контура, мы можем предположить, что каждый участок контура даёт определённый вклад в величину p и что доля вклада каждого участка контура зависит от формы и положения только этого участка, но не от расположения других частей контура.

Это допущение является законным, потому что мы не рассматриваем сейчас ток, части которого могут действовать (и действительно действуют) одна на другую, мы рассматриваем просто контур, т.е. замкнутую кривую, являющуюся чисто геометрической фигурой, вдоль которой может течь ток, и поэтому нельзя представлять, что части этой фигуры оказывают друг на друга какое-то физическое воздействие.

Таким образом, мы можем предположить, что доля вклада от элемента контура ds равна Jds, где J - величина, зависящая от положения и направления элемента ds. Следовательно, значение p допускает выражение через линейный интеграл

p

=

Jds

,

(2)

где интегрирование проводится по замкнутому контуру однократно.

587. Далее мы должны определить вид величины J. Прежде всего, если направление ds изменить на противоположное, то знак изменится. Поэтому, когда два контура ABCE и AECD имеют общую дугу AEC, отсчитываемую в этих контурах в противоположных направлениях, то сумма значений p для двух контуров ABCE и AECD будет равна значению p для контура ABCD, составленного из этих двух контуров [рис. 35].

Рис. 35

Действительно, части линейного интеграла, относящиеся к дуге AEC, для обоих парциальных контуров равны по величине и противоположны по знаку; когда берётся их сумма, они взаимно уничтожаются, и остаются только части линейного интеграла, зависящие от внешней границы ABCD.

Таким же путём мы можем показать, что если поверхность, ограниченную замкнутой кривой, разделить на произвольное число частей и границу каждой из них рассматривать как контур (положительное направление каждого контура совпадёт с положительным направлением внешней замкнутой кривой), то значение p для замкнутой кривой окажется равным сумме значений p для всех этих контуров, см. п. 483.

588. Рассмотрим теперь участок поверхности, размеры которого настолько малы по сравнению с главными радиусами кривизны поверхности, что изменением направления нормали в пределах этого участка можно пренебречь. Будем предполагать также, что если любой очень маленький контур перенести параллельно самому себе от одной части этого участка к другой, то величина p для этого малого контура заметно не изменится и это, очевидно, относится к тому случаю, когда размеры участка поверхности достаточно малы по сравнению с его расстоянием от первичного контура.

Если на этом участке поверхности провести произвольную замкнутую кривую, то значение p будет пропорционально площади, ею охватываемой.

Действительно, площади любых двух контуров могут быть разделены на малые элементы, имеющие одинаковые размеры и одинаковые значения p. Площади этих двух контуров пропорциональны числу тех элементов, из которых они состоят, и в таком же отношении между собой находятся их значения p.

Отсюда значение p для контура, который ограничивает некоторый элемент поверхности dS, имеет вид IdS, где I есть величина, зависящая от положения элемента dS и от направления его нормали. Поэтому мы имеем новое выражение для p:

p

=

IdS

,

(3)

где двойное интегрирование распространяется на любую поверхность, ограниченную контуром.

589. Пусть ABCD будет контуром, у которого AC является элементарным участком, настолько малым, что его можно считать прямолинейным. Пусть ABP и CQB будут малые, равные между собой площадки, лежащие в той же плоскости, тогда значение p будет одинаковым для обоих малых контуров APB и CQB [рис. 36], или

p(APB)

=

p(CQB)

.

Отсюда

p(APBQCD)

=

p(ABQCD)

+

p(APB),

=

p(ABQCD)

+

p(CQB),

=

p(ABCD),

т.е. значение p не меняется при замене прямой линии AC на ломаную линию APQC, если охватываемая контуром площадь при этом не меняется существенно. Фактически это есть принцип, установленный вторым опытом Ампера (п. 506), где показано, что искривлённый участок контура эквивалентен прямолинейному при условии, что ни одна из его частей заметно не удалена от прямолинейного участка.

Следовательно, если мы заменим элемент ds на три малых элемента dx, dy и dz, проведённых в такой последовательности, чтобы образовать непрерывный путь от начала элемента ds к его концу, и если через Fdx, Gdy и Hdz, мы обозначим элементы линейного интеграла, соответствующие dx, dy, dz, то

Jds

=

Fdx

+

Gdy

+

Hdz

.

(4)

590. Мы теперь в состоянии установить, каким образом величина J зависит от направления элемента ds, поскольку согласно (4)

J

=

F

dx

ds

+

G

dy

ds

+

H

dz

ds

.

(5)

Это есть выражение для составляющей (в направлении ds) вектора, компоненты которого в направлениях x, y и z равны F, G и H соответственно.

Обозначим этот вектор через A, а вектор, проведённый из начала координат в точку на контуре,- через , тогда элемент контура будет равен d, и кватернионным выражением для Jds будет -S.Ad.