Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Третий член в каждом из уравнений (В) зависит от изменения магнитного поля во времени. Оно может быть обусловлено либо изменением во времени электрического тока в первичном контуре, либо движением первичного контура. Пусть E2 будет той частью электродвижущей напряжённости, которая зависит от этих членов. Её составляющие равны -dF/dt, -dG/dt, -dH/dt.
Это составляющие вектора -dA/dt, или -A. Следовательно,
E
2
=
– A
.
(8)
Последний член в каждом из уравнений (В) обусловлен изменением функции в различных частях поля. Мы можем записать третью часть электродвижущей напряжённости, обусловленную этой причиной, в виде
E
3
=
–
.
(9)
Электродвижущая напряжённость в том виде, как она определена уравнениями (В), может быть, следовательно, записана в кватернионной форме:
E
=
V.GB
– A
–
.
(10)
О модификации уравнений для электродвижущей напряжённости в случае, когда оси, на которые она проектируется, движутся в пространстве
600. Пусть x', y', z' - координаты точки, относящиеся к системе прямоугольных осей, движущихся в пространстве, а x, y, z - координаты той же точки относительно неподвижных осей.
Пусть составляющие скорости начала движущейся системы координат равны u, v, w, а составляющие её угловой скорости по отношению к неподвижной системе осей равны 1, 2, 3. Выберем неподвижные оси так, чтобы они в данный момент времени совпали с движущимися осями, тогда единственными величинами, которые будут отличны друг от друга для обеих систем, окажутся величины, продифференцированные по времени. Если через x/t обозначить составляющую скорости точки, жёстко связанной с движущимися осями и перемещающейся вместе с ними, а через dx/dt и dx'/dt - составляющие скорости любой движущейся точки, имеющей в какое-то мгновение одинаковое положение относительно неподвижных и движущихся осей соответственно, тогда
dx
dt
=
x
t
+
dx'
dt
,
(1)
для других составляющих уравнения аналогичны.
Согласно теории движения тел неизменной формы
x
t
=
u
+
2
z
–
3
y
,
y
t
=
v
+
3
x
–
1
z
,
z
t
=
w
+
1
y
–
2
x
.
(2)
Величина F является составляющей некоторой направленной величины, параллельной x, поэтому, обозначив через dF'/dt значение dF/dt, отнесённое к движущимся осям, мы можем показать, что
dF'
dt
=
dF
dx
x
t
+
dF
dy
y
t
+
dF
dz
z
t
+
G
3
–
H
2
+
dF
dt
.
(3)
Подставляя вместо dF/dy и dF/dz их значения, найденные из уравнений для магнитной индукции (А), и помня, что, согласно (2),
d
dx
x
t
=
0,
d
dx
y
t
=
3
,
d
dx
z
t
=
–
2
,
(4)
находим
dF'
dt
=
dF
dx
x
t
+
F
d
dx
x
t
+
dG
dx
y
t
+
G
d
dx
y
t
+
+
dH
dx
z
t
+
H
d
dx
z
t
–
c
y
t
+
b
z
t
+
dF
dt
.
(5)
Если теперь положить
'
=
F
x
t
+
G
y
t
+
H
z
t
,
(6)
то
dF'
dt
=-
d'
dx
–
c
y
t
+
b
z
t
+
dF
dt
.
(7)
Уравнение для P - составляющей электродвижущей напряжённости, параллельной оси x, отнесённое к неподвижным осям, согласно (В), будет
P
=
c
dy
dt
–
b
dz
dt
–
dF
dt
–
d
dx
.
(8)
Заменяя эти значения на значения величин, отнесённых к движущимся осям, для величины P, отнесённой к этим движущимся осям, имеем
P'
=
c
dy'
dt
–
b
dz'
dt
–
dF'
dt
–
d(+')
dx
.
(9)
601. Отсюда следует, что электродвижущая напряжённость выражается однотипной формулой для движений проводников, отнесённых и к неподвижным осям, и к движущимся в пространстве осям. Единственное различие между формулами состоит в том, что в случае движущихся осей электрический потенциал должен быть заменён на +'.
Во всех случаях, где в проводящих контурах возникает ток, электродвижущая сила является линейным интегралом, взятым вдоль замкнутого контура:
E
=
P
dx
ds
+
Q
dy
ds
+
R
dz
ds
ds
.
(10)
Величина исчезает при интегрировании, и поэтому введение ' не влияет на значение E. Следовательно, во всех явлениях, относящихся к замкнутым контурам и токам в них, безразлично, будут ли оси, к которым мы относим систему, в покое или в движении, см. п. 668.