Чтение онлайн

Мы можем теперь записать уравнение (2) в виде

p

=

F

dx

ds

+

G

dy

ds

+

H

dz

ds

ds

,

(6)

или

p

=

–

S.Ad

.

(7)

Вектор A и его составляющие F, G, H зависят от положения элемента ds в поле, но не от направления, в котором он проведён. Следовательно, они являются функциями координат x, y, z элемента ds, но не его направляющих косинусов l, m, n.

Вектор A и по направлению, и по величине представляет собой интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, действие которой испытывала бы частица, помещённая в точку (x,y,z) при внезапном прекращении первичного тока. Поэтому мы назовём его Электрокинетическим Импульсом в точке (x,y,z). Он равен той величине, которую мы исследовали в п. 405 под названием вектор-потенциала магнитной индукции.

Электрокинетический импульс любой конечной линии или контура есть линейный интеграл вдоль этой линии или контура от составляющей электрокинетического импульса в каждой точке этой линии или контура.

591. Найдём теперь значение p для элементарного прямоугольника ABCD, сторонами которого являются dy и dz, а положительным направлением - направление от оси y к оси z [рис. 37].

Рис. 37

Пусть координатами O центра тяжести элемента будут xo, yo, zo, а Go, Ho– значения G и H в этой точке.

Координаты A - средней точки первой стороны прямоугольника - равны yo и zo– dz/2. Соответствующее значение G есть

G

=

G

o

–

1

2

dG

dz

dz

+

…,

(8)

и часть величины p, возникающая со стороны A, приблизительно равна

G

o

dy

–

1

2

dG

dz

dy

dz

.

(9)

Аналогично

для

B,

H

o

dz

+

1

2

dH

dy

dy

dz

,

для

C,

– G

o

dy

–

1

2

dG

dz

dy

dz

,

для

D,

– H

o

dz

+

1

2

dH

dy

dy

dz

.

Складывая эти четыре величины, находим значение p для четырехугольника, а именно

p

=

dH

dy

–

dG

dz

dy

dz

.

(10)

Если теперь ввести три новых величины a, b, c, таких, что

a

=

dH

dy

–

dG

dz

,

b

=

dF

dz

–

dH

dx

,

c

=

dG

dx

–

dF

dy

,

(A)

и рассматривать их в качестве составляющих нового вектора B, тогда, согласно теореме IV п. 24, мы можем выразить линейный интеграл от A вдоль любого замкнутого контура в виде поверхностного интеграла от B, взятого по поверхности, ограниченной контуром, таким образом:

p

=

F

dx

ds

+

G

dy

ds

+

H

dz

ds

ds

=

=

(

la

+

mb

+

nc

)

nS

,

(11)

или

p

=

T.A cos ds

=

T.B cos dS

,

(12)

где есть угол между A и ds, а - угол между B и нормалью к dS, направляющие косинусы которой равны l, m, n; T.A, T.B обозначают численные значения A и B.

При сравнении этого результата с уравнением (3) становится очевидным, что величина I в том уравнении равна B cos , т.е. проекции B на нормаль к dS.

592. Мы уже видели (пп. 490, 541), что в соответствии с теорией Фарадея явления электромагнитной силы и индукции в контуре зависят от изменения числа линий магнитной индукции, проходящих сквозь контур. Теперь же число этих линий выражено математически в виде поверхностного интеграла от магнитной индукции, взятого по любой поверхности, ограниченной данным контуром. Следовательно, мы должны считать, что вектор B и его составляющие a, b, c представляют собой то, с чем мы уже знакомы как с магнитной индукцией и её составляющими.

В настоящем исследовании мы предполагаем вывести свойства этого вектора из принципов динамики, установленных в последней главе, как можно меньше обращаясь при этом к эксперименту.

Отождествляя этот вектор, возникший как результат математических исследований, с магнитной индукцией, свойства которой мы узнали из опытов с магнитами, мы не отступаем от указанного метода, ибо не вводим в теорию новых фактов, а только даём наименование некоторой математической величине. О правомерности такого действия следует судить по согласованности соотношений между математическими и физическими величинами, носящими одинаковые названия.

Вектор B, поскольку он фигурирует в поверхностном интеграле, принадлежит, очевидно, к категории потоков, описанных в п. 12, а вектор A принадлежит, наоборот, к категории сил, так как он появляется в линейном интеграле.

593. Теперь мы должны восстановить в памяти те соглашения о положительных и отрицательных величинах и направлениях, некоторые из которых были установлены в п. 23. Мы принимаем правую систему осей, а именно такую, в которой, если винт с правой нарезкой смотрит вдоль оси x, а гайка поворачивается на винте в положительном направлении, т.е. от направления y к z, она будет перемещаться вдоль винта в положительном направлении x.