Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Об электромагнитной силе, действующей на проводник, переносящий электрический ток через магнитное поле
602. В общем исследовании (п. 583) мы видели, что если есть одна из переменных, определяющих положение и форму вторичного контура, а X1– сила, действующая на вторичный контур и стремящаяся увеличить значение этой переменной, то
X
1
=
dM
dx1
i
1
i
2
.
(1)
Так как ток i1 не зависит от x1 мы можем написать
Mi
1
=
p
=
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
ds
,
(2)
и для величины X1 имеем
X
1
=
i
2
d
dx1
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
ds
.
(3)
Предположим теперь, что смещение состоит в движении каждой точки контура на расстояние x в направлении x, причём x является любой непрерывной функцией от s, так что различные части контура движутся независимо одна от другой и в то же время контур остаётся непрерывным и замкнутым.
Пусть также X будет полной силой в направлении x, действующей на часть контура от s=0 до s=s. Тогда часть, соответствующая элементу ds, будет равна (dX/ds)ds. Для работы, совершаемой этой силой за время перемещения, будем иметь следующее выражение:
dX
ds
x
ds
=
i
2
d
dx
F
dx
ds
+
G
dy
ds
+
H
dz
ds
x
ds
,
(4)
где мы должны распространить интегрирование на замкнутую кривую, помня, что x является произвольной функцией s. Поэтому мы можем произвести дифференцирование по x точно так же, как мы дифференцировали по t в п. 598, помня, что
dx
dx
=
1,
dx
dy
=
0,
dx
dz
=
1.
(5)
Таким образом, находим
dX
ds
x
ds
=
i
2
c
dy
ds
–
b
dz
ds
x
ds
+
i
2
d
ds
(Fx)
ds
.
(6)
При интегрировании по замкнутой кривой последний член исчезает и так как уравнение должно выполняться для функции x любого вида мы должны иметь
dX
ds
=
i
2
c
dy
ds
–
b
dz
ds
.
(7)
Это уравнение даёт силу, параллельную x и действующую на произвольный единичный элемент контура. Силы, параллельные y и z, соответственно равны
dY
ds
=
i
2
a
dz
ds
–
c
dx
ds
,
(8)
dZ
ds
=
i
2
b
dx
ds
–
a
dy
ds
.
(9)
Результирующая сила, действующая на элемент, даётся (и по направлению, и по величине) кватернионным выражением i2V.dB, где i2 есть численная мера тока, а d и B - векторы, представляющие элемент контура и магнитную индукцию; умножение должно пониматься в гамильтоновом смысле.
603. Если проводник следует рассматривать не как линию, а как некоторое тело, то силу на элемент длины и ток через полное сечение необходимо выражать через символы, обозначающие силу на единицу объёма и токи через единицу площади.
Пусть X, Y, Z представляют теперь составляющие силы, отнесённой к единице объёма, а u, v, w -составляющие тока, отнесённого к единице площади. Тогда, если S представляет сечение проводника, которое мы будем предполагать малым, то объём элемента ds будет равен Sds и
u
=
i
2
dx
.
S
ds
Следовательно, уравнение (7) примет вид
XSds
ds
=
S
(
vc
–
wb
),
(10)
или
X
=
vc
–
wb
,
(Уравнения
Электромагнитной
Силы)
Аналогично
Y
=
wa
–
uc
,
и
Z
=
vb
–
ua
.
(C)
Здесь X, Y, Z - составляющие электромагнитной силы, действующей на элемент проводника, делённые на объём этого элемента; u, v, w - отнесённые к единице площади составляющие электрического тока, протекающего через элемент, и a, b, c - составляющие магнитной индукции на элементе, которые также отнесены к единице площади.