Чтение онлайн

Терминология. При обсуждении формул термины «сумма» и «слагаемые» применяются независимо от имеющих место быть знаков у тех или иных объектов. Конечно же, данное замечание относится и к тому случаю, когда объект является переменной и его знак может меняться в зависимости от специфики ситуации.

Формат записи. Операторы дифференцирования всегда обязаны находиться справа от объектов, на которые они действуют. Прочие объекты записи находятся там, где их требует смысл изложения.

Для написания векторов в настоящей книге используются прописные буквы английского алфавита. Как такого требуют правила записи научного текста, знак умножения «*» в формулах не используется, а его расположение становится понятным из внутреннего смысла или контекста описания соответствующей формулы или выражения.

Нумерация формул. Принадлежность формулы к настоящему приложению можно установить по литеру ФМ, с которого начинается её нумерация. Вслед за ним идёт номер части настоящего приложения, где находится данная формула, а далее, через точку, и сам номер формулы.

Ссылки. Обращение к формулам происходит, как по их нумерации, так и по названию, если оно имеется. Конкретный выбор определяет специфика ситуации.

Структура. Присущая для глав настоящей книги структуризация текста иногда дополняется и дроблением подпараграфов частей настоящего приложения. Получающиеся при таком дроблении элементы структуры текста определяется по их названиям, выделенным наклонным жирным шрифтом с подчёркиванием в первой строке их первых абзацев, а их конец задаётся либо началом следующего такого же элемента структуры текста, либо началом далее идущего подпараграфа или параграфа, либо окончанием излагаемой части настоящего приложения.

Особенности представления таблиц. Используемые в настоящей книге таблицы могут иметь самую разную форму. Но, их внешний вид и контекст изложения позволит без труда понять структуру содержащейся в них информации.

Структурно таблицы состоят из «служебной части» и «информационной части», подразделяемые на ячейки. Они могут иметь, исходя из специфики ситуации, почти произвольную конфигурацию.

Служебная часть отличается от информационной части серым цветом шрифта записи содержимого своих ячеек. Она позволяет классифицировать отражаемые в ней, точнее в её информационной части, данные.

Специфика изложения материала в настоящей книге такова, что некоторые таблицы не могут быть представлены как единое целое. Поэтому они разбиваются на части, отражаемые в отдельных таблицах.

Сборку данных частей в исходную таблицу следует производить исходя из специфики ситуации. Определённую пользу может оказать название таблицы.

ФМ1. Алгебра октанионов тензорного типа

Алгебра октанионов тензорного типа или тензооктанионов представляет собой гиперкомплексные числа с восемью образующими. Как и в случае тензоров, у них имеются контравариантные и ковариантные координаты.

Основные свойства алгебры тензооктанионов. Рассмотрим основные свойства алгебры тензооктанионов более подробно. Наиболее важные черты удобно изучать на прямолинейном варианте.

Структура гиперкомплексных чисел. Для тензорного анализа характерно, что в прямолинейном случае различие между контравариантными и ковариантными координатами тензора исчезает. В алгебре тензооктанионов подобное обстоятельство, хотя и даёт свой эффект отнюдь не всегда, уже не выполняется.

Алгебры гиперкомплексных чисел представляют собой объединение алгебраических объектов, имеющих «базис». Данный базис состоит из конечного числа образующих, из которых только одна 1 (единица) является вещественной, а все остальные оказываются мнимыми величинами.

Когда же у гиперкомплексного числа коэффициент при действительной образующей равен 0 (нулю), то оно называется «чисто мнимым гиперкомплексным числом». Применительно к алгебре тензооктанионов в таком случае следует говорить о «чисто мнимом тензооктанионе».

Нередко возникают ситуации, когда от 0 (нуля) бывает отличным только коэффициент при действительной единице. Подобное гиперкомплексное число, а в случае алгебры тензооктанионов, такой тензооктанион в обоих случаях называется «действительным числом», каковым он и является на самом деле.

Комплексное сопряжение. В математике для гиперкомплекстных чисел определена «операция комплексного сопряжения». В ходе её осуществления коэффициент при действительной единице остаётся прежним, а находящиеся при мнимых единицах величины изменяют знак.

Операция сопряжения даёт «комплексно сопряжённое гиперкомплексное число». Считая действительную часть гиперкомплексного числа z функцией Re(z) от него, а мнимую часть – функцией Im(z), само число z и ему комплексно сопряжённое записывается, соответственно, при помощи первой и второй формул блока формул (ФМ1.1).

(ФМ1.1)

Левая часть второй формулы блока формул (ФМ1.1) демонстрирует метод обозначения комплексно сопряжённого числа. Он заключается в написание черты над исходным гиперкомплексным числом.

Совокупность любого гиперкомплексного числа и комплексно сопряжённого ему гиперкомплексного числа называется «сопряжёнными гиперкомплексными числами». В случае тензооктанионов для упоминания о таком факте станет говориться о «сопряжённых тензооктанионах».

Модуль гиперкомплексного числа. При произведении друг на друга любых сопряжённых гиперкомплексных чисел всегда получается действительное число. Оно равно сумме квадратов коэффициентов любого сомножителя.

Данное число представляет собой квадрат модуля любого из исходных сопряжённых гиперкомплексных чисел. Положительная ветвь квадратного корня из квадрата модуля считается «модулем гиперкомплексного числа».