Чтение онлайн

Особенности криволинейной алгебры тензооктанионов. Общим случаем является применение криволинейной алгебры тензооктанионов. При переходе от прямолинейной алгебры тензооктанионов к криволинейной алгебре тензооктанионов части таблицы Кэли, записанные в таблице ФМ1.1 наклонным жирным шрифтом, не изменяются.

Содержимое всех прочих ячеек таблицы Кэли, выделенных в таблице ФМ1.1 прямым жирным шрифтом, изменяется. Подобное изменение для всех отмеченных элементов таблицы Кэли происходит согласованно.

Однако, конкретный его вид в настоящей книге не понадобится. Как следствие, он и не рассматривается.

В криволинейном случае в каждой точке алгебры тензооктанионов её матрица Кэли всегда может быть локально приведена к виду, показанному в таблице ФМ1.1. Предпосылкой данного факта является ненулевые значения внешней дифференциальной формы любых четырёх различных образующих алгебры тензооктанионов в любой её точке.

Компоненты тензооктаниона. Из таблицы ФМ1.1 следует, что образующие алгебры тензооктанионов можно разделить на четыре подгруппы по их типам. Аналогично получается и родственное разделение компонент тензооктанионов:

· действительная единица 1 считается «временной контравариантной компонентой»;

· мнимая единица f считается «временной ковариантной компонентой»;

· мнимые единицы i, j и k относятся к «пространственной контравариантной компоненте»;

· мнимые единицы q, m и n относятся к «пространственной ковариантной компоненте».

Отметим, что временная контравариантная компонента тензооктаниона является «действительной частью тензооктаниона». Все прочие компоненты тензооктаниона относятся к «мнимой части тензооктаниона».

Условимся называть приведённую классификацию компонент тензооктанионов «базовой классификацией компонент тензооктанионов» или просто «базовой классификацией компонент». Она не является единственной используемой в настоящем приложении классификацией компонент тензооктанионов.

Договоримся объединение контравариантных компонент тензооктаниона называть «контравариантной компонентой тензооктаниона» или «контравариантной компонентой», обозначая их «звёздочкой» «*» в правом нижнем углу изображающих их символов. Совокупность же ковариантных компонент тензооктаниона станем именовать «ковариантной компонентой тензооктаниона» или «ковариантной компонентой», помечая связанные с ними символы «звёздочкой» «*» в правом верхнем углу.

Имеющий только контравариантную компоненту тензооктанион условимся считать «контравариантным тензооктанионом», а тензооктанион с одной лишь ковариантной компонентой договоримся рассматривать как «ковариантный тензооктанион». Вместе временные компоненты тензооктаниона станем понимать как «временную компоненту тензооктаниона» или «временную компоненту», а объединение его пространственных компонент будем считать «пространственной компонентой тензооктаниона» или «пространственной компонентой».

Договоримся обозначать временную компоненту тензооктаниона символом 0 в левом нижнем углу символа. Пространственная компонента тензооктаниона, будучи вектором, и обозначаться станет как вектор.

При переходе на векторную запись, символы «звёздочек» в правых углах символов, как верхнем, так и нижнем, а также символ 0 из левого нижнего угла будут опускаться. Но, все прочие их части без изменений станут переноситься в запись, использующую символику векторного анализа.

Тождественное сравнение тензооктанионов. В процессе работы будет применяться операция «тождественного сравнения тензооктанионов». Она постулирует, что два тензооктаниона тогда и только тогда будут тождественно равны друг другу, когда все их компоненты тождественно совпадают между собой.

Алгебраические операции в алгебре тензооктанионов. Для любой алгебры таблица Кэли является отправной точкой изучения свойств осуществляемых в её рамках алгебраических операций. Одновременный учёт характерной для операции сложения той же алгебры аддитивности или нечувствительности результата операции сложения к порядку слагаемых позволяет получить много свойств изучаемой алгебры.

Отправная точка. Как и в векторном анализе станем использовать для обозначения скалярного произведения векторов круглые скобки, а прямые угловые скобки применим для записи векторного произведения векторов. В рассматриваемом случае прямолинейной алгебры тензооктанионов подобный подход позволяет записать «исходную формулу умножения двух тензооктанионов» как формулу (ФМ1.2)

(ФМ1.2)

Нетрудно увидеть, что исходная формула перемножения двух тензооктанионов отличается от привычных правил алгебры алгоритмом раскрытия скобок. Отличие состоит в наличии последнего, пятого члена.

В формуле (ФМ1.2) у элементов перемножаемых тензооктанионов отсутствуют «звёздочки», определяющие в обозначении каждой компоненты тензооктаниона её тип. Данный факт не является ошибкой автора, а следствием того, что формула (ФМ1.2) представляет собой основу преобразований или применяемый во всех случаях «каркас».

Формулы трансформации результатов умножений. Подобный «каркас» и приведённые ниже «формулы трансформации результатов умножений» позволяют разобраться в любой относящейся к делу ситуации. Опираясь на них, и нужно определять тип компонент результата перемножения двух тензооктанионов в их базовой классификации.

В самом общем случае, при перемножении двух тензооктанионов, каждый из них следует разбить на две части, являющиеся их контравариантными и ковариантными компонентами. Далее, следует применять исходную формулу умножения тензооктанионов столько раз, сколько нужно, не забывая производить трансформацию.

Начнём изложения формул трансформации результатов умножений с обсуждения правил умножения временных частей тензооктанионов. Все они сведены в формулы блока формул (ФМ1.3).

(ФМ1.3)