Чтение онлайн

Коснёмся правил умножения, связанных со скалярным произведением пространственных компонент тензооктанионов. Соответствующие формулы приведены в формулах блока формул (ФМ1.4)

(ФМ1.4)

В алгебре тензооктанионов имеются умножения, дающие в результате различные компоненты пространственного типа. Подобные умножения определяются формулами блока формул (ФМ1.5).

(ФМ1.5)

Наличие в исходной формуле умножения двух тензооктанионов векторного произведения выделяет связанные с ними правила умножения. Данные правила перечисляются в формулах блока формул (ФМ1.6).

(ФМ1.6)

Имеется возможность перестановки слагаемых в скалярном произведении пространственных компонент тензооктанионов. Итоги таких перестановок приведены в формулах блока формул (ФМ1.7).

(ФМ1.7)

Разумеется, слагаемые могут переставляться и в векторном произведении. Подобные перестановки подчиняются правилам, записанным в виде формул блока формул (ФМ1.8).

(ФМ1.8)

Необходимо напомнить ещё раз, что в рамках алгебры тензооктанионов с действительными числами, которыми, также являются и временные контравариантные компоненты тензооктанионов, можно совершать любые действия, предусмотренным алгебраическими правилами. Здесь нет необходимости заботиться о трансформации получаемых результатов, и данный факт часто будет использоваться в дальнейшем без специальных оговорок.

Операция упрощения. Одно из главных преимуществ использования алгебры тензооктанионов перед тензорным исчислением даёт органически связанная с алгеброй тензооктанионов операция упрощения. Она, хотя и не имеет аналога в тензорном исчислении, но может быть объяснена с его позиций.

Дело в том, что в тензорном исчислении тензор иногда представляют таблицей определённой размерности. Тензооктанион, в зависимости от его свойств, также можно представить в виде такой таблицы.

Условимся называть подобное представление тензооктаниона «тонкой структурой тензооктаниона». Она бывает полезной при определении законов преобразования тензооктанионов при смене системы координат.

Очень важно то обстоятельство, что, если не учитывать расположение отдельных элементов в представляющей её упомянутой исходной таблице, тонкая структура тензооктаниона представима в виде некоторой суммы. Вдобавок, все такие слагаемые, сгруппированные по образующим, дают «упрощённую структуру тензооктаниона».

Условимся переход от тонкой структуры тензооктаниона к упрощённой структуре тензооктаниона называть «операцией упрощения». Один из примеров её применения показан в формуле (ФМ1.9).

(ФМ1.9)

Компоненты упрощённой структуры тензооктаниона выражаются через элементы его тонкой структуры. В рассматриваемом случае такая связь определяется формулами блока формул (ФМ1.10).

(ФМ1.10)

На первый взгляд может показаться, что наличие двух слагаемых с образующей 1 является ошибкой. Но, коль скоро алгоритмы их получения отличаются друг от друга, то имеет смысл разделять такие слагаемые.

В принципе в рамках операции упрощения один и тот же тензооктанион можно получить из разных тонких структур. Подобная неоднозначность снимается правила преобразования при смене системы координат.

Покажем одно применение операции упрощения. С такой целью перемножим два контравариантных тензооктаниона. Начальный шаг данной операции умножения приведён в соотношении (ФМ1.11).

(ФМ1.11)

Произведём трансформацию правой части соотношения (ФМ1.11). Подобный шаг позволит на базе соотношения (ФМ1.11) записать формулу (ФМ1.12).

(ФМ1.12)

Первое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к первому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) первой формулы блока формул (ФМ1.3). Второе слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) получается из второго слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) при учёте первой формулы блока формул (ФМ1.4), а третье слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования третьего слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.5).

Четвёртое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к четвёртому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) второй формулы блока формул (ФМ1.5). Пятое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования пятого слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.6).

Однако, тот же результат можно получить, используя общеизвестную для математиков операцию тензорного произведения тензорного анализа, с последующим применением к полученному результату операции упрощения. Рассматривая первый тензооктанион как вектор-столбец, а второй тензооктанион как вектор-строку, получаем результат тензорного произведения в формуле (ФМ1.13).

(ФМ1.13)

Элементарная проверка показывает, что от правого выражения формулы (ФМ1.13) можно перейти к правому выражению формулы (ФМ1.12). Конечно же, такой переход делается при помощи операции упрощения.

Двойное векторное произведение. В алгебре тензооктанионов, как и в векторном анализе, для пространственных компонент тензооктанионов можно определить операцию двойного векторного произведения. Специфика алгебры тензооктанионов, конечно же, накладывает на неё свой оттенок.

Исходная формула. В качестве основы, разумеется, следует взять формулу двойного векторного произведения векторного анализа. Она приведена как формула (ФМ1.14).

(ФМ1.14)

Одной формуле двойного векторного произведения векторного анализа соответствуют её 8 (восемь) модификаций в алгебре тензооктанионов. В свою очередь каждая модификация формулы имеет по 4 (четыре) варианта своей реализации.