Чтение онлайн

Рассмотрим теперь более подробно определение стационарных состояний системы в присутствии данного постоянного внешнего силового поля; на основе принципа соответствия мы должны исследовать, каким образом эти внешние силы влияют на разложение движения на гармонические колебания. Как уже упоминалось, влияние внешних сил сказывается в том, что положение и форма орбиты будут непрерывно изменяться. В общем случае зависимость этих изменений от времени будет столь сложна, что мы не в состоянии разложить возмущённое движение на гармонические компоненты. В этом случае мы должны ожидать, что возмущённая система не имеет резко выраженных стационарных состояний. Предполагая по-прежнему, что излучение всегда монохроматично и определяется правилом частот, мы всё же не можем в этом случае ожидать спектра, состоящего из резких линий; внешние силы вызовут размытие спектральных линий невозмущённой системы. Однако в некоторых случаях возмущения могут иметь столь правильный характер, что возмущённая система допускает разложение на гармонические колебания, хотя совокупность этих колебаний будет, естественно, более сложного типа, чем в невозмущённой системе. Такое изменение произойдет, например, в том случае, когда изменение орбиты во времени будет периодическим. В этом случае в движении системы появятся гармонические колебания, являющиеся кратными числа периодов возмущений орбиты, и в спектре, который можно ожидать согласно обычной теории излучения, должны появиться компоненты соответствующих частот. Принцип соответствия приводит нас поэтому непосредственно к предположению о том, что всякому стационарному состоянию невозмущённой системы соответствует некоторое число состояний возмущённой системы. При переходе между каждыми из двух таких состояний излучается свет, частота которого так же связана с периодическим изменением орбиты, как связан спектр простой периодической системы с движением в стационарных состояниях.

Поучительным примером появления возмущений периодического характера может служить случай атома водорода в однородном электрическом поле. Под влиянием поля положение и эксцентриситет орбиты непрерывно изменяются. Оказывается, однако, что при этих изменениях центр орбиты остаётся в плоскости, перпендикулярной направлению электрического поля, и движение его в этой плоскости чисто периодическое. Когда центр возвращается в исходное положение, орбита также принимает свои первоначальные положение и эксцентриситет, и с этого момента весь цикл орбиты будет повторяться в отношении её геометрической формы и положения. В этом случае определение энергии стационарных состояний возмущённой системы чрезвычайно просто, так как оказывается, что период возмущения не зависит от первоначальной конфигурации орбиты и положения плоскости, в которой движется центр, но определяется большой осью и связанным с ней числом оборотов орбиты. Простое вычисление показывает, что соответствующее число периодов выражается следующей фомулой:

=

3eF

8^2ma

,

(18)

где F — напряжённость внешнего электрического поля. По аналогии с определением особых значений энергии осциллятора Планка можно ожидать, что разница между энергиями двух различных стационарных состояний, соответствующих одному и тому же стационарному состоянию невозмущённой системы, является просто целым кратным числа периодов возмущения , умноженного на h. Мы приходим, таким образом, непосредственно к следующему выражению для энергии стационарных состояний возмущённой системы:

E

=

E

n

+kh

,

(19)

где En зависит от числа n определяющего стационарные состояния невозмущённой системы; k — новое целое число, которое может быть в данном случае положительным или отрицательным. Более подробное рассмотрение связи между энергией и движением системы, как мы увидим ниже, приводит к выводу, что k должно быть численно меньше n если мы, как и раньше, приравняем величину En значению энергии Wn n-то стационарного состояния невозмущённой системы. Подставляя значения (17) для Wn, n и an в формулу (19), находим:

E

=-

1

n2

22e4m

h2

+

nk

3h2F

82em

.

(20)

Задаваясь вопросом о влиянии электрического поля на линии спектра атома водорода, мы получаем на основании условия частот (4) для числа колебаний света, излучаемого при переходе из стационарного состояния n', k', в состояние n'', k'', следующее выражение:

=

22e4m

h3

1

(n'')2

–

1

(n'')2

+

3h2F

82em

(n'k'-n''k'')

.

(21)

Эта формула точно совпадает с выведенными Эпштейном и Шварцшильдом формулами, которые, как известно, представляют собой убедительное объяснение частот компонент штарковского расщепления спектральных линий водорода. Вывод этих формул основан на том, что атом водорода в однородном электрическом поле является условно-периодической системой, уравнения движения которой в параболических координатах могут быть решены разделением переменных; поэтому методом, указанным выше, можно определить стационарные состояния.

Рассмотрим теперь несколько подробнее то соответствие, которое существует между изменениями спектра водорода в электрическом поле (как это наблюдается в эффекте Штарка) и разложением возмущённого движения атома на гармонические компоненты. Прежде всего находим, что вместо простого разложения на гармонические компоненты, соответствующего кеплеровскому движению, пространственное смещение электрона в заданном направлении в рассматриваемом случае будет выражаться в виде

=

C

,

cos 2{t(+)+c

,

}

,

(22)

где — среднее число обращений по возмущённой орбите, — указанное выше число периодов возмущения орбиты, C,, и c,, — постоянные; здесь суммирование распространяется на все целые значения тих. Рассматривая переход между двумя стационарными состояниями, характеризуемыми некоторыми числами n', k' и n'', k'', мы находим для тех значений этих чисел, которые велики по сравнению с разностями n'-n'' и k'-k'', что частота излучаемой спектральной линии приближённо выражается формулой

~

(n'-n'')

+

(k'-k'')

.

(23)

Мы имеем, таким образом, связь между спектром и движением атома того же характера, как и в ранее рассмотренном простом случае невозмущённого атома водорода. Здесь имеется налицо такое же соответствие между гармоническими компонентами движения с определёнными значениями и в формуле (22) и переходом между двумя стационарными состояниями, для которых n'-n''= и k'-k''=.

Это соответствие приведёт нас при ближайшем рассмотрении движения ко многим интересным следствиям. Так, рассмотрение движения показывает, что всякая гармоническая компонента в выражении (22), для которой + — чётное число, соответствует прямолинейному колебанию, параллельному направлению электрического поля; всякая же компонента, для которой + — число нечётное, соответствует эллиптическому колебанию, перпендикулярному электрическому полю. Рассматривая этот факт в свете принципа соответствия, мы приходим к мысли объяснить таким образом наблюдаемую характерную поляризацию компонент штарковского расщепления. Излучение, сопровождающее переходы, для которых сумма (n'-n'')+(k'-k'') есть чётное число, должно давать компоненты, в которых электрический вектор колеблется параллельно электрическому полю; наоборот, для переходов с нечётным значением (n'-n'')+(k'-k'') должна возникать компонента с электрическим вектором, колеблющимся перпендикулярно полю. Это предположение вполне подтверждается опытом и соответствует эмпирическому правилу поляризации, установленному Эпштейном в его первой работе об эффекте Штарка. Применения принципа соответствия, о которых мы до сих пор говорили и которые относятся к вопросу о возможности различных типов переходов и к поляризации света, излучаемого при таких переходах, носили часто качественный характер. Возможно, однако, на основе этого принципа, сравнивая относительные значения амплитуд соответствующих гармонических компонент движения, дать количественную оценку относительной вероятности различных возможных переходов. Это соображение весьма поучительно оправдалось для случая эффекта Штарка в водороде. Исследуя численные значения коэффициентов C, в формуле (22), можно вполне осветить своеобразное и как будто произвольное распределение интенсивностей в различных компонентах, на которые распадается каждая спектральная линия водорода в электрическом поле. Этот вопрос обстоятельно разобран Крамерсом в его недавно появившейся диссертации, содержащей подробное рассмотрение применения принципа соответствия к вопросу об интенсивности спектральных линий.

Переходя к вопросу о влиянии однородного магнитного поля на спектральные линии водорода, мы можем поступить совершенно аналогичным образом. Как известно, действие такого поля на движение атома водорода состоит просто в наложении равномерного вращения на движение электронов в невозмущённом атоме. При этом ось вращения параллельна направлению магнитного поля, а число оборотов выражается формулой

=

eH

4mc

,

(24)

где H — напряжённость поля, c — скорость света. Следовательно, мы снова имеем тот случай, когда возмущения носят чисто периодический характер и число периодов возмущения не зависит от формы и положения орбиты, а в данном случае — даже от её большой оси. Мы можем, таким образом, применить те же соображения, как и для эффекта Штарка, и вправе ожидать, что энергия стационарных состояний снова будет выражаться формулой (19), где для о нужно подставить значение (24). Этот результат вполне согласуется с выражениями, выведенными Зоммерфельдом и Дебаем для значений энергии стационарных состояний водородного атома в магнитном поле. Вывод этих выражений основан на том, что уравнения движения атома в магнитном поле допускают решение путём разделения переменных, если ввести пространственные полярные координаты с осью, параллельной направлению поля. Однако, если попытаться вычислить влияние поля на спектральные линии водорода из значений энергии в стационарных состояниях, пользуясь непосредственно условием частот (4), то придётся столкнуться с кажущимися разногласиями, считавшимися некоторое время серьёзным затруднением для теории. Зоммерфельд и Дебай указали, что не всякому мыслимому переходу между двумя стационарными состояниями соответствует линия, наблюдаемая в эффекте Зеемана; в противоположность положению дел с эффектом Штарка, в данном случае из теории следует значительно большее число компонент, чем наблюдается на опыте. Однако это затруднение исчезает, как только мы привлечём принцип соответствия. Исследуя разложение движения на гармонические компоненты, мы находим непосредственное объяснение как невозможности переходов, соответствующих «лишним» компонентам, так и поляризации наблюдаемых компонент. Так, например, мы просто находим, что всякая эллиптически-гармоническая компонента, с числом колебаний появляющаяся в разложении невозмущённого движения, распадается в магнитном поле под влиянием указанного выше равномерного вращения орбиты на три гармонические компоненты. Одна из них — прямолинейная с числом колебаний и с направлением, параллельным магнитному полю; две остальные — круговые с числами колебаний + и -, колеблющиеся в противоположных направлениях в плоскости, перпендикулярной полю. Следовательно, движение, представляемое формулой (22), не содержит компонент, для которых было бы больше единицы (в противоположность эффекту Штарка, где в движении имеются компоненты для всех значений ). Сравнивая этот результат с формулой (23), выражающей «асимптотическое» совпадение числа колебаний излучения и числа колебаний гармонической компоненты в случае больших значений n и k мы приходим к выводу, что переходы, для которых k меняется больше, чем на единицу, в этом случае невозможны. Подобным же образом для осциллятора Планка исключены переходы между двумя особыми состояниями, для которых n в формуле (1) отличается более чем на единицу. Далее, мы должны заключить, что возможны два типа переходов. Для переходов, соответствующих прямолинейным компонентам колебания, величина k в формуле (19) не изменяется, частота 0 первоначальной линии водорода также не изменяется и электрический вектор колеблется параллельно полю. Для второго типа переходов, соответствующего круговым компонентам колебания, k уменьшается или увеличивается на единицу и колебания, частоты которых соответственно равны 0+ и 0– , при наблюдении параллельно полю будут поляризованы по кругу. Эти результаты согласуются с известной теорией нормального эффекта Зеемана, предложенной Лоренцом. В изложенных соображениях можно заметить очень близкую аналогию с указанной теорией, наличие которой станет особенно поразительным, если принять во внимание фундаментальное различие представлений теории квантов и обычной теории излучения.