Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
nn
e
i
(v)
f(v)
v
dv
=
n
i
k
i
1-exp
–
h
kT
c
h
d
.
(23.3)
Как известно, при термодинамическом равновесии функция f(v) определяется формулой Максвелла, плотность излучения — формулой Планка и распределение атомов по состояниям — формулами Больцмана и Саха. При помощи перечисленных формул из соотношения (23.3) получаем
i
(v)
=
h^2^2
c^2m^2v^2
gi
g
k
i
,
(23.4)
где gi — статистический вес i-го состояния данного атома, и g — статистический вес основного состояния иона.
Формула (23.4) и даёт искомую связь между величинами i(v) и ki. Хотя при выводе её предполагалось термодинамическое равновесие, но она верна, разумеется, всегда (так как вероятности поглощения и излучения квантов не зависят от распределения атомов по состояниям и квантов по частотам).
Подставляя (23.4) в (23.1), получаем следующее выражение для коэффициента рекомбинации:
C
i
(T
e
)
=
gi
g
h^2
c^2m^2
0
^2
v
k
i
f(v)
dv
.
(23.5)
Здесь функция f(v) даётся формулой Максвелла при температуре Te, т.е.
f(v)
=
4m^3
(2mkTe)^3/^2
exp
–
mv^2
2kTe
v^2
.
(23.6)
Чтобы вычислить величину Ci(Te) по формуле (23.5), надо знать коэффициент поглощения для данного атома. Мы сейчас найдём Ci(Te) для водорода. В этом случае коэффициент поглощения ki Даётся формулой (5.6). Подставляя (5.6) в (23.5) и пользуясь также формулами (23.2) и (23.6), получаем
C
i
(T
e
)
=
2
(6)^3/^2
e^1
m^2c^3h^3
m
kTe
^3/
1
i^3
x
x
exp
i
kTe
E
i
kTe
,
(23.7)
где Ex — интегральная показательная функция.
Формулу (23.7) можно переписать в виде
C
i
(T
e
)
=
3,22·10
M
i
(T
e
)
,
(23.8)
где
M
i
(T)
=
1
T^3/^2 i^3
exp
i
kT
E
i
kT
.
(23.9)
Значения функции Mi(T)·10 приведены в табл. 27.
Аналогично могут быть найдены коэффициенты рекомбинации для других атомов.
Таблица 27
Значения функции Mi(T)·10
i
T, K
1 000
5 000
10 000
20 000
50 000
1
20,0
8,8
6,0
3,9
2,3
2
9,8
3,9
2,7
1,6
0,78
3
6,4
2,5
1,4
0,86
0,37
4
4,7
1,6
0,94
0,52
0,21
5
3,5
1,1
0,64
0,34
0,13
6
2,9
0,86
0,46
0,23
0,088
7
2,3
0,66
0,35
0,17
0,062
8
1,9
0,52
0,26
0,13
0,046
2. Степень ионизации в туманности.
При термодинамическом равновесии степень ионизации атомов определяется формулой Саха. В туманностях нет термодинамического равновесия, поэтому мы должны вывести новую ионизационную формулу. Для этого мы воспользуемся тем, что туманности стационарны, т.е. физические условия в них не меняются с течением времени (на самом деле изменение происходит, но очень медленно). Точнее говоря, будем считать, что в каждом объёме число ионизаций равно числу рекомбинаций.
Так как ионизация атомов в туманностях происходит преимущественно из основного состояния, то число ионизаций, совершающихся в 1 см^3 за 1 с под действием излучения в интервале частот от до +d равно
n
k
1
c
h
d
.
Плотность излучения в туманности определяется формулой (22.2). Поэтому для полного числа ионизаций, происходящих в единице объёма за единицу времени, получаем
n
W
k
1
c
h
d
,
где — частота ионизации из основного состояния.
Что же касается рекомбинаций, то они происходят на все уровни. Поэтому полное число рекомбинаций, случающихся в 1 см^3 за 1 с, будет равно
n
e
n
1
C
i
(T
e
)
.
Приравнивая друг к другу два последних выражения, имеем