Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
I.
1
– >
3
– >
2
– >
1
,
II.
1
– >
2
– >
3
– >
1
.
Первый из этих процессов связан с поглощением одного кванта частоты и с излучением двух квантов меньших частот и , а второй — с поглощением двух квантов частот и , и последующим излучением одного кванта большей частоты .
Найдём число процессов первого и второго рода, происходящих в единице объёма туманности за 1 с. Для этого воспользуемся эйнштейновскими коэффициентами переходов Aki, Bik и Bki и обозначим через ik плотность излучения частоты ik.
Если n — число атомов в первом состоянии в 1 см^3, то число переходов из первого состояния в третье, происходящих в 1 см^3 за 1 с, будет равно nB. Из третьего состояния возможны переходы (спонтанные и индуцированные) как в первое состояние, так и во второе. Доля интересующих нас переходов во второе состояние равна
A+B
A+B+A+B
.
Из атомов, оказавшихся во втором состоянии, часть перейдёт обратно в третье состояние, поглотив излучение, а часть перейдёт в первое состояние (спонтанно или под действием излучения). Отношение числа переходов из второго состояния в первое к общему числу переходов из второго состояния равно
A+B
B+A+B
.
Таким образом, для искомого числа процессов первого рода получаем
N
I
=
nB
A+B
A+B+A+B
x
x
A+B
B+A+B
.
(22.8)
Аналогично находится число процессов второго рода. Оно оказывается равным
N
II
=
nB
B
A+B+B
x
x
A+B
A+B+A+B
.
(22.9)
Из соотношений (22.8) и (22.9) вытекает следующая формула для отношения числа процессов второго рода к числу процессов первого рода:
NII
NI
=
BB(A+B)
B(A+B)(A+B)
.
(22.10)
Чтобы упростить полученную формулу, введём соотношения Эйнштейна:
A
ki
=
B
ik
gi
gk
ik
,
B
ki
=
gi
gk
B
ik
,
(22.11)
где
ik
=
8hik^3
c^3
,
(22.12)
а gi — статистический вес i-го состояния (см. § 8). Кроме того, запишем величину ik в виде
ik
=
W
ik
ik
,
(22.13)
где
ik
=
1
.
exp
h
ik
– 1
kT
*
(22.14)
В результате формула (22.10) преобразуется к виду
NII
NI
=
W
(1+W)
(1+W)(1+W)
.
(22.15)
Когда W=1, формула (22.15) даёт
1
+1
NII
NI
=
=
1
+1
1
+1
exp
h
kT*
=
.
exp
h
·exp
h
kT
*
kT
*
(22.16)
Но +=. Поэтому в данном случае NII/NI=1, как и следовало ожидать.
Если W<<1, то, учитывая, что множитель / имеет значения порядка единицы, получаем
NII
NI
W
.
(22.17)
Таким образом, отношение числа процессов второго рода к числу процессов первого рода оказывается порядка W. Этот результат обычно называют теоремой Росселанда.
В планетарных туманностях W10^1. Поэтому в данном случае числом процессов второго рода можно совершенно пренебречь по сравнению с числом процессов первого рода. Иначе говоря, процессы превращения квантов больших частот в кванты меньших частот происходят в туманностях несравненно чаще, чем обратные процессы.
4. Определение температур звёзд по линиям водорода.
Выше мы считали, что туманность состоит из атомов, обладающих только тремя уровнями энергии. Теперь рассмотрим свечение реальной туманности, состоящей из атомов водорода.
Вследствие чрезвычайно малой плотности излучения в туманностях подавляющее большинство атомов находится в основном состоянии. Поэтому туманности оказываются непрозрачными для излучения в лаймановской серии и совершенно прозрачными для излучения в бальмеровской, пашеновской и других субординатных сериях. Таким образом, туманность поглощает энергию звезды в частотах лаймановской серии и излучает вместо неё кванты в субординатных сериях (и, в частности, в наблюдаемой нами бальмеровской серии), которые беспрепятственно выходят из туманности. При достаточно большой оптической толщине туманности за границей лаймановской серии она будет светиться в водородных линиях в основном за счёт энергии звезды за границей этой серии (так как энергия, поглощаемая туманностью в лаймановских линиях, будет гораздо меньше).
Точнее говоря, процесс свечения водородной туманности происходит следующим образом. Под действием излучения звезды за границей лаймановской серии происходит ионизация водородного атома, т.е. возникают протон и свободный электрон. Через некоторое время свободный электрон захватывается каким-нибудь протоном. Допустим, что захват произошёл на один из высоких уровней. Возникший при этом квант за границей соответствующей субординатной серии уходит из туманности. Далее следует цепь «каскадных» переходов электрона с уровня на уровень. Вследствие чрезвычайно малой плотности излучения и вещества в туманностях эта цепь переходов в огромном большинстве случаев не прерывается. Образующиеся при указанных переходах кванты в линиях субординатных серий также уходят из туманности. Однако если электрон совершил переход на первый уровень, то возникший при этом квант в лаймановской линии поглощается в туманности и электрон опять оказывается на прежнем уровне. Поэтому с данного уровня (если он только не второй) электрон рано или поздно совершит переход не на первый уровень. Легко понять, что указанная цепь переходов должна закончиться переходом на второй уровень с образованием бальмеровского кванта и последующим переходом со второго уровня на первый с образованием кванта в линии L.