Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
=
(1-)
I
+
Q
B
(T)
.
(10.43)
Подставляя (10.43) в (10.21), а также переходя от переменной r к , находим
cos
dI
d
=
(1+
)I
–
(1-)
I
–
–
(1+Q
)
B
(T)
,
(10.44)
где определяется формулой (10.24).
Получим приближённое решение уравнения (10.44), считая, что =const. Из этого уравнения имеем
dH
d
=
(1+
)
I
–
(1+Q
)
B
,
(10.45)
dI
d
=
3(1+
)
H
.
(10.46)
Отсюда получается следующее уравнение для определения I:
d^2I
d^2
=
3(1+
)
(1+
)
I
–
(1+Q
)
B
(10.47)
Решение уравнения (10.47) имеет вид
I
=
C
exp
–
b
+
1+Q
1+
B
(T)
(1+
),
(10.48)
где
b
^2
=
3(1+
)
(1+
)
,
(10.49)
а C — произвольная постоянная. Постоянная при exp(b) равна нулю, так как I не может с увеличением возрастать экспоненциально. Подставляя (10.48) в (10.46), находим
H
=
1
3(1+)
– b
C
exp
–
b
+
+
1+Q
1+
B
(T)
(10.50)
Определяя постоянную C из условия (10.33), получаем следующее выражение для интересующего нас потока излучения на границе звезды:
H
(0)
=
4
B
(T)
1+Q
1+
b+
3(1+)+2b
.
(10.51)
Отсюда вытекает, что
r
=
1+Q
•
b
+
•
3
+2
.
1+
1
+
3(1+
)+2b
3
(10.52)
Полученная формула для r является обобщением формулы (10.37) на случай наличия флуоресценции.
Для того чтобы пользоваться формулой (10.52), надо определить величину . Как уже сказано, она равна отношению числа ионизаций из второго состояния к сумме числа ионизаций и числа спонтанных переходов из этого состояния. При помощи эйнштейновских коэффициентов переходов (см. § 8) величина представляется в виде
=
B
B+A
.
(10.53)
В этой формуле
B
=
c
k
2
d
h
,
(10.54)
где — частота ионизации из второго состояния, k2 — коэффициент поглощения за границей второй серии.
Для грубой оценки величины можно поступить так. Будем считать, что величина B действительно является произведением плотности излучения непосредственно за границей второй серии на эйнштейновский коэффициент перехода [определённый в согласии с формулой (10.54)]. Тогда, представляя и A в виде
=
,
exp
h
– 1
kT
(10.55)
A
=
g
g
B
(10.56)
где
ik
=
8hi^3k
c^3
,
(10.57)
и принимая приближённо gg, , BB, получаем
exp
–
h
kT
.
(10.58)
Оценка величины по формуле (10.58) для атомов с потенциалом ионизации из возбуждённого состояния около 3 эВ (например, для Na I и Са I) при температуре Солнца даёт 10^3. Вычисления по формулам (10.53) и (10.54) приводят к значениям такого же порядка (=0,0015 для линий D и D натрия и =0,0004 для линии 4227 Са I).
Формулу (10.52) для r и сделанные оценки величины мы используем ниже (в § 11) при обсуждении вопроса о центральных интенсивностях линий поглощения.