Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
Уравнения, определяющие интенсивность излучения внутри линии в случае модели Эддингтона, уже были получены ранее. Одним из них является уравнение переноса излучения (9.1), а другим— уравнение лучистого равновесия (10.1). Уравнение (9.1) можно переписать в виде
cos
dI
dr
=-
(
+
)
I
+
+
B
(T)
.
(10.21)
Здесь мы воспользовались соотношением (9.2), так как считаем справедливым предположение о локальном термодинамическом равновесии для непрерывного спектра. Подставляя (10.1) в (10.21), получаем одно интегро-дифференциальное уравнение для определения величины I:
cos
dI
dr
=-
(
+
)
I
+
I
d
4
+
B
(T)
.
(10.22)
Вводя оптическую глубину в непрерывном спектре посредством соотношения d=-dr, вместо (10.22) находим
cos
dI
d
=-
(
+1)
I
–
d
4
–
B
(T)
,
(10.23)
где обозначено
=
.
(10.24)
Вообще говоря, величина является очень сложной функцией от глубины, однако в дальнейшем для простоты мы примем, что =const.
Для получения приближённого решения уравнения (10.23) применим метод Эддингтона (см. § 2). Предварительно введём обозначения:
I
=
I
d
4
,
H
=
I
cos
d
4
.
(10.25)
Величина I представляет собой среднюю интенсивность излучения в данном месте, а 4H — поток излучения.
Умножив (10.23) сначала на d/4, а затем на cos d/4, и проинтегрировав по всем телесным углам, находим
dH
d
=
I
–
B
,
(10.26)
1
3
dI
d
=
(1+
)
H
.
(10.27)
Здесь мы использовали приближённое соотношение
I
cos^2
d
4
=
1
3
I
.
(10.28)
Из уравнений (10.26) и (10.27) получаем следующее уравнение для определения I:
d^2I
d^2
=
3(1+
)
(
I
–
B
).
(10.29)
Для величины B(T), как и раньше, мы возьмём выражение (9.15), т.е. будем считать её линейной функцией от . В таком случае частное решение уравнения (10.29) будет просто равно B(T). В качестве общего же решения этого уравнения находим
I
=
C
exp
–
3(1+
)
+
+
D
exp
3(1+
)
+
B
,
(10.30)
где C и D — произвольные постоянные.
Очевидно, что в глубоких слоях атмосферы, где линии в спектре отсутствуют, I=C. Поэтому должно быть D=0. Следовательно, имеем
I
=
C
exp
–
3(1+
)
+
B
(T)
(1+
)
,
(10.31)
где обозначено =/. При помощи (10.27) получаем
H
=
1
3(1+)
–
C
exp
–
3(1+
)
x
x
3(1+
)
+
B
(T)
.
(10.32)
Для определения постоянной C надо использовать граничное условие (10.6). В принятом приближении его можно записать в виде
I
=
2
H
(при
=0
)
.
(10.33)
Подставляя (10.31) и (10.32) в (10.33), находим
C
3(1+
)
=-
3(1+)-2
3(1+)+2
B
(T)
.
(10.34)
Так как нашей задачей является определение профиля линии поглощения в спектре звезды, то нам надо найти поток выходящего из звезды излучения, т.е. величину H(0)=4H(0). Полагая в формуле (10.32) =0 и принимая во внимание (10.34), получаем.