Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
4. Точное решение задачи.
Рассматриваемую нами задачу об определении профилей линий поглощения в звёздных спектрах при сделанных выше предположениях можно решить точно. Для получения такого решения мы применим способ, изложенный в § 3.
Уравнение переноса излучения мы возьмём в форме (10.21), а коэффициент излучения зададим уравнением (10.43), т.е. примем во внимание флуоресценцию. Указанные уравнения можно переписать в виде
cos
dI
dt
=
I
–
S
,
(10.59)
где dt=-(+) dr и
S
=
(1-)
1+
I
d
4
+
1+Q
1+
B
(T)
.
(10.60)
Функцию B(T), как и выше, представим формулой (9.15). Переходя в ней от к t, имеем
B
(T)
=
B
(T)
1+
1+
(10.61)
где
=
.
Решая уравнение (10.59) относительно I и подставляя найденное выражение I через S в уравнение (10.60) (т.е. поступая так же, как в § 2 при получении уравнения Милна), мы приходим к следующему интегральному уравнению для определения функции S(t):
S
(t
)
=
2
0
E|t
– t
'|
S
(t
')
dt
'
+
+
1+Q
1+
B
(T)
,
(10.62)
где обозначено
=
(1-)
1+
.
(10.63)
Перепишем уравнение (10.62) в виде
S(t)
=
2
0
E|t-t'|
S(t')
dt'
+
g(t)
,
(10.64)
опуская для простоты на время индекс . Свободный член этого уравнения является линейной функцией от t т.е.
g(t)
=
c
+
ct
.
(10.65)
Мы видим, что уравнение (10.64) принадлежит к типу уравнений, подробно рассмотренных в § 3. Если в уравнении (3.1) положить
K(t)
=
2
Et
=
2
1
e
– tx
dx
x
,
(10.66)
то мы получим уравнение (10.64). При представлении ядра K(t) в форме (3.17) имеем A(x)=/2x.
Согласно способу, изложенному в § 3, решение уравнения (10.64) надо начинать с нахождения функции S(0,x) определённой уравнением (3.20). В данном случае, полагая x=1/ и S(0,x)=, вместо (3.20) имеем
=
1+
2
1
0
(')
+'
d'
.
(10.67)
При =1 из (10.67) получается ранее рассмотренное уравнение (3.53).
Функция , впервые введённая В. А. Амбарцумяном, была затем подробно изучена рядом авторов. В табл. 11 приведены значения этой функции, а в табл. 12 — значения её моментов [т.е. величин, определённых формулой (3.59)].
Таблица 11
Значения функции
0
0,4
0,6
0,8
0,85
0,90
0,925
0,95
0,975
1
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,1
1,00
1,06
1,09
1,14
1,15
1,17
1,18
1,20
1,21
1,25
0,2
1,00
1,09
1,15
1,23
1,26
1,29
1,31
1,34
1,37
1,45
0,3
1,00
1,11
1,19
1,30
1,34
1,39
1,42
1,46
1,51
1,64
0,4
1,00
1,13
1,22
1,36
1,41
1,48
1,52
1,57
1,64
1,83
0,5
1,00
1,14
1,25
1,41
1,48
1,56
1,61
1,67
1,76
2,01
0,6
1,00
1,15
1,27
1,46
1,53
1,63
1,69
1,77
1,88
2,19
0,7
1,00
1,16
1,29
1,50
1,58
1,69
1,76
1,85
1,98
2,37
0,8
1,00
1,17
1,31
1,54
1,63
1,75
1,83
1,93
2,08
2,55
0,9
1,00
1,18
1,32
1,57
1,67
1,81
1,89
2,01
2,18
2,73
1,0
1,00
1,18
1,34
1,60
1,71
1,85
1,95
2,08
2,27
2,91
Таблица 12
Значения моментов функции
0
0,4
0,6
0,8
0,85
0,90
0,925
0,95