Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
(,)
=
4
–
,
(19.15)
в котором функция определяется уравнением
=
1+
2
1
0
(')
+'
d'
.
(19.16)
Как мы помним, функция уже встречалась в теории звёздных фотосфер (в § 3) и в теории образования звёздных спектров (в § 10). Теперь мы видим, что через ту же функцию выражается коэффициент яркости планетной атмосферы. Значения функции при разных значениях параметра приведены на стр. 119.
Соотношения (19.15) и (19.16) мы получили при помощи уравнения (19.12), однако В. А. Амбарцумян показал, что их можно также получить без использования этого уравнения, а именно — при помощи так называемого «принципа инвариантности». Согласно этому принципу отражательная способность полубесконечной среды не изменится, если к ней добавить некоторый слой с теми же оптическими свойствами. Добавляя к полубесконечной среде слой бесконечно малой оптической толщины, определяя все изменения в интенсивности излучения, вносимые этим слоем, и приравнивая их нулю, мы и приходим к указанным соотношениям (см. [1]).
При помощи принципа инвариантности был также найден коэффициент яркости при произвольной индикатрисе рассеяния. В виде примера приведём результат, полученный при простейшей несферической индикатрисе рассеяния
x
=
1+
xcos
,
(19.17)
где x — некоторый параметр.
В данном случае коэффициент яркости определяется формулой
(,,)
=
(,)
+
(,)
cos
,
(19.18)
а величины (,) и (,) имеют следующую структуру:
(,)
=
4
– x
+
,
(19.19)
(,)
=
4
x
^1 ^1
+
.
(19.20)
В свою очередь вспомогательные функции и определяются из системы уравнений
=
1
+
+
2
1
0
(')-x(')
– '
d'
,
(19.21)
=
–
–
2
1
0
(')-x(')
– '
d'
,
(19.22)
а вспомогательная функция ^1 — из уравнения
^1
=
1-^2
+
+
4
x
^1
1
0
^1(')
+'
1-'^2
d'
.
(19.23)
Функции , и ^1 табулированы, так что вычисление коэффициента яркости по формулам (19.18) — (19.20) не составляет труда.
При сильно вытянутой индикатрисе рассеяния формулы для коэффициента отражения (,,) становятся довольно сложными. В этом случае для его определения используются численные методы.
3. Атмосфера конечной оптической толщины.
Рассмотрим теперь рассеяние света в атмосфере произвольной оптической толщины . Считая для простоты, что индикатриса рассеяния является сферической, получаем следующее уравнение для определения функции S(,):
S(,)
=
2
0
E|-t|
S(t,)
dt
+
4
F
exp
–
.
(19.24)
Здесь мы пока пренебрегли отражением света поверхностью планеты.
Наша задача состоит в определении интенсивностей излучения, диффузно отражённого и диффузно пропущенного атмосферой. Вместо них мы будем искать соответствующие им коэффициенты яркости (или коэффициенты отражения и пропускания) (,) и (,), выражающиеся через функцию S(,) при помощи формул
F(,)
=
0
S(,)
exp
–
d
,
(19.25)
F(,)
=
0
S(,)
exp
–
–
d
.
(19.26)
Однако для нахождения величин (,) и (,) нет необходимости в предварительном определении функции S(,) Как и в случае =, можно получить уравнения, непосредственно определяющие коэффициенты яркости. Для этого поступим следующим образом.
Перепишем уравнения (19.24) в виде
S(,)
=
2
0
E(-t)
S(t,)
dt
+
+
2
0
E(t-)
S(t,)
dt
+
4
F
exp
–
.
(19.27)
Положив -t=x в первом интеграле и t-=x во втором, получаем
S(,)
=
2
0
Ex
S(-x,)
dx
+
2
–
0
Ex
S(+x,)
dx
+
4
F
exp
–
.
(19.28)
Дифференцируя это уравнение по , находим
S'(,)
=
2
0
E|-t|
S'(t,)
dt
–
F
4
exp
–
+
+
2
S(0,)
E
–
2
S(,)
E(-)
.
(19.29)
Сравнивая между собой уравнения (19.24) и (19.29), мы видим, что они имеют одинаковые ядра и отличаются друг от друга лишь свободными членами. Но так как функция E определяется формулой
E
=
1
0
exp
–
d
,
(19.30)
то свободный член уравнения (19.29) представляет собой суперпозицию свободных членов уравнения (19.24). Поэтому вследствие линейности рассматриваемых уравнений имеем