Курс теоретической астрофизики
Шрифт:
S'(,)
=-
1
S(,)
+
2
F
S(0,)
1
0
S(,')
d'
'
–
–
2
F
S(,)
1
0
S(-,')
d'
'
.
(19.31)
Соотношение (19.31) и даёт нам возможность получить уравнения, определяющие величины (,) и (,). Умножая это соотношение на
exp
–
d
,
интегрируя по в пределах от нуля до и учитывая формулы (19.25) и (19.26), находим
F
(,)
(+)
=
S(0,)
–
S(,)
,
(19.32)
где обозначено
=
1+
2
1
0
(,')
d'
,
(19.33)
=
exp
–
+
2
1
0
(,')
d'
.
(19.34)
После умножения соотношения (19.31) на
exp
–
–
d
,
и интегрирования аналогично получаем
F
(,)
(-)
=
S(0,)
–
S(,)
.
(19.35)
С другой стороны, из уравнения (19.24) вытекает
S(0,)
=
2
0
S(t,)
dt
1
0
exp
–
t
d
+
4
F
=
=
2
1
0
d
0
S(t,)
exp
–
t
dt
+
4
F
=
=
4
F
1+
2
1
0
(,)
d
.
(19.36)
Из того же уравнения аналогично находим
S(,)
=
4
F
exp
–
+
2
1
0
(,)
d
.
(19.37)
Пользуясь симметричностью величин (,) и (,). относительно и (которая будет доказана ниже) и обозначениями (19.33) и (19.34), получаем
S(0,)
=
4
F
,
S(,)
=
4
F
.
(19.38)
Подстановка выражений (19.38) в формулы (19.32) и (19.35) даёт
(,)
=
4
–
+
,
(19.39)
(,)
=
4
+
–
.
(19.40)
Подставляя же выражения (19.39) и (19.40) в формулы (19.33) и (19.34), находим
=
1+
2
1
0
(')-(')
+'
d'
,
(19.41)
=
exp
–
+
+
2
1
0
(')-(')
– '
d'
.
(19.42)
Соотношения (19.39)—(19.42) являются искомыми. Формулы (19.39) и (19.40) определяют структуру коэффициентов яркости, а уравнения (19.41) и (19.42) служат для определения вспомогательных функций и .
При индикатрисе рассеяния произвольного вида коэффициенты яркости также выражаются через вспомогательные функции, зависящие только от одного аргумента, и эти функции определяются системами уравнений, похожими на уравнения (19.41) и (19.42) (см., например, [2]).
Нам ещё остаётся доказать симметричность коэффициентов яркости относительно углов падения и отражения (или пропускания). Для этого рассмотрим интегральное уравнение
S(,)
=
0
K(|-t|)
S(t,)
dt
+
g(,)
(19.43)
с произвольным ядром, зависящим от модуля разности двух аргументов, и с произвольным свободным членом, зависящим от параметра Уравнение (19.24) является частным случаем уравнения (19.43).
Считая, что g(,) представляет собой свободный член уравнения (19.43), в котором заменено на получаем
0
S(,)
g(,)
d
=
=
0
S(,)
S(,)
–
0
K(|-t|)
S(t,)
dt
d
=
=
0
S(,)
S(,)
d
–
–
0
S(,)
dt
0
S(,)
K(|-t|)
d
.
(19.44)
Отсюда, обращаясь снова к уравнению (19.43), находим
0
S(,)
g(,)
d
=
0
S(,)
g(,)
d
.
(19.45)
Аналогично можно получить:
0
S(,)
g(-,)
d
=
0
S(,)
g(-,)
d
.
(19.46)
Полагая
g(,)
=
exp
и принимая во внимание формулы (19.25) и (19.26), из (19.45) и (19.46) имеем
(,)
=
(,)
,
(,)
=
(,)
.
(19.47)
Эти соотношения, которыми раньше мы уже пользовались, нам и требовалось доказать.
Соотношения (19.47) играют весьма важную роль в теории рассеяния света. С физической точки зрения они выражают «принцип обратимости» для оптических явлений. К планетным атмосферам впервые этот принцип применил Миннарт (см. [5]).