Чтение онлайн

Оно расходится в пределе ->0, но нас сейчас беспокоит не эта расходимость. Соотношение унитарности требует выполнения равенства Im =(1/2)+. Но Im получается из выражения (5.4) заменой тензора на его мнимую часть Im , которая, согласно (5.5), имеет вид

Im

(q) =

 

aa'

C

A

g

2

 (q

2

)

{

–

19

q

2

g

+

22

q

q

}

,

aa'

32

2

6

6

(5.6)

и конечна даже при D = 4. Она должна быть равна величине

1/2

q

q|

|c,phys.c,phys.|

+

|

q

q

,

 

c,phys.

т.е. квадрату амплитуды процесса qq->BB с физическими глюонами BB (рис. 2). Используя правила Фейнмана, легко видеть, что выражение для такой амплитуды аналогично выражению для Im c заменой мнимой части поляризационного оператора Im aa(q) на комбинацию

aa'

C

A

(k

1

,k

2

;

1

2

)

*

(k

1

,k

2

;

1

2

)

 

1,2

 

k1+k2=2

(5.7 a)

Рис. 2. Мнимая часть величины .

где параметр =± 1 обозначает физические значения спиральностей глюонов, а функции имеют вид

=

[(k

 

+q)

 

 g

– (q+k

 

)

 

 g

+(k

 

– k

 

)

 g

 

]

1

2

2

1

 

x

(k

 

,

 

)

(k

 

,

 

) .

p

1

1

p

2

2

(5.7 б)

Здесь p– вектор поляризации испущенного физического глюона, заданный выражением

(k,)=

1

 {

(1)

(k) + i

(2)

(k)} ,

p

2

содержащим тетрады (i), определяемые аналогично выражениям (4.10). Для физического глюона выполняется условие поперечности kp(k,) = 0, k2 = 0, поэтому выражение (5.7б) можно записать в виде (напомним, что q = k1 + k2)

=[2k

 

g

– 2k

 

+(k

 

– k

 

)

g

 

]

(k

 

,

 

)

(k

 

,

 

).

 

1

1

2

1

 

1

1

p

2

2

Легко убедиться в справедливости равенства q = 0. Очевидно, что условию унитарности в пространстве состояний физических глюонов удовлетворить нельзя. В самом деле, из формулы (5.6) следует

q

 

(q) /= 0.

aa'

Конечно, противоречие возникло из-за того, что лагранжиан переводит физические состояния в нефизические. На это впервые обратили внимание Де Витт [94] и Фейнман, решение проблемы для некоторых частных случаев было предложено Фейнманом [118], а для общего случая - Фаддеевым и Поповым [113]. Идея заключается в следующем. Нужно ввести дополнительные нефизические частицы (духи), обращающие в нуль нефизические состояния, порождаемые лагранжианом Lint. Таким образом, мы модифицируем лагранжиан L, добавляя в него члены, отвечающие духам, в результате чего полный лагранжиан Lall принимает вид

L

=L

+

(

 

(x))(

 

– gf

 

B

(x))

 

(x) ,

all

 

ab

 

abc

c

b

(5.8)