Чтение онлайн

Поскольку min sin ( - 2x) = -1, то min y = 6 - 5 = 1.

Ответ. 1.

24.15. Преобразуем данную систему к виду

или

Введем новые переменные:

x + 1/5 = s, y + 2/5 = t, z/12 = v, w– 1/12 = u. (4)

Тогда система примет вид

и для удовлетворяющих этой системе переменных нужно найти

min (y + w) = min (5t + 12u– 1). (8)

Обратим внимание на то обстоятельство, что (5) и (6) — уравнения окружностей радиуса 1. Поэтому можно положить:

s = sin , t = cos ; v = sin , u = cos .

Тогда для левой части (7) получим

sin cos + sin cos = sin( + ) <= 1. (9)

Учитывая соотношения (9) и (7) одновременно, получим

sin ( + ) = 1, т. е. + = /2 + 2k, (10)

или

sin = cos , cos = sin , (11)

s = u, t = v. (12)

Соотношение (7), которое преобразуется теперь в равенство, примет вид

u^2 + t^2 = 1. (13)

Нам нужно найти min (5t + 12u– 1). Воспользуемся соотношениями (11) и (12), в силу которых u = sin , t = cos . Тогда st– 12u– 1 = 13(5/13 - cos - 12/13 sin^3 ) - 1 = 13 cos ( + ) - 1, где cos = 5/13, sin = 12/13. Поэтому min (5t– 12u– 1) = -14.

Ответ.– 14.

1. Сумма первых одиннадцати членов арифметической прогрессии 418. Найдите шестой член этой прогрессии.

2. Решите уравнение

cos 2x = 2 - 23 cos x sin x.

3. Основанием наклонной треугольной призмы служит равносторонний треугольник. Сечение, проходящее через среднюю линию верхнего основания и одну из сторон нижнего основания, перпендикулярно основаниям призмы. Найдите объем призмы, если известно, что площадь сечения 30 м^2, а радиус окружности, описанной около основания, 10/3 3 м.

4. Решите систему уравнений

5. Решите неравенство

8(-2x + 3x)(-2x - 1 + 3x)(-2x + 3x + 1)(-2x– 2 + 3x) + 81x <= 0.

6. Сторона треугольника имеет длину 9 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найдите наименьшее возможное значение, которое может достигать площадь данного треугольника.

1. Решите уравнение

|-sin x| = 2 cos x.

2. Решите неравенство

(9x^2 - 9x + 2) log2 3x >= 0.

3. Разность цифр двузначного натурального числа A равна 4, а сумма квадратов цифр этого числа больше произведения его цифр на 37. Найдите число A.

4. Найдите сумму действительных корней уравнения

x^2 + 2(с^2 + 2с)x + 4с^3 - 2с^2 + 40 = 0

и укажите, при каких с R эта сумма принимает наибольшее значение.

5. Основанием треугольной пирамиды SABC служит треугольник АВС, y которого ВС = 1, СА = 13, а высота СЕ = 105. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью АВС угол величиной . Определите площадь основания и объем пирамиды.

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

|6 cos x– 1| = 4 cos 2x + 3.

3. Решите неравенство

log2 (3x– 5) + log 1/4 (2x– 1) < 1.

4. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найдите объем пирамиды, если апофема пирамиды равна а.

5. При а = 1 решите уравнение

(4a + 2) sin x + 2a cos 2x + а + 1 = 0

и определите все значения а, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, принадлежащее отрезку [0; 5/6].