Чтение онлайн

22.2. Пусть

Так как 0 < + < /2 и

Наше выражение принимает теперь вид

/4 + arcsin 2/4.

Поскольку arcsin 2/4 > arcsin 2/2, то

0 < /4 + < /2,

где = arcsin 2/4 и sin = 2/4. Найдем

Поскольку мы оказались в интервале монотонности синуса, то остается воспользоваться определением арксинуса.

Ответ. arcsin [7 + 1/4].

22.3. Рассмотрим сначала первое и третье слагаемые:

arctg (-2) = , tg = -2, -/2 < < 0;

arctg (- 1/3 ) = , tg = - 1/3 , -/2 < < 0.

Таким образом, - < + < 0, что не является областью главных значений какой-нибудь обратной тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям неравенства : 0 < + + < . Теперь + + попадет в область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно однозначный переход к обратным функциям. Найдем

Следовательно,

 + + = arcctg (-1/7), т. е. + = -arcctg 1/7.

Наше выражение равно arcsin 1/3 - arcctg 1/7. Пусть

arcsin 1/3 = , sin = 1/3 , 0 < < /2;

arcctg 1/7 = , ctg = 1/7, 0 < < /2.

Так как -/2 < - < /2, что является интервалом значений арксинуса, то вычислим синус от - :

sin ( - ) = sin cos - cos sin .

Так как

cos = 22/3, cos = 1/52, sin = 7/52,

то

Ответ. arcsin 2 - 28/30. 

22.4. Сумма существует при 0 <= x <= 1. Введем обозначения и используем определение арксинуса:

Так как сумма + лежит в интервале [0, ], который является интервалом монотонности косинуса, то имеется взаимно однозначное соответствие между + и cos ( + ) при условии, что 0 <= x <= 1. Так как

то + = /2.

Ответ. /2 при 0 <= x <= 1.

22.5. Оценим = (x^2 + x– 3), если 0 <= x <= 3 - 1/2.

Имеем

Следовательно,

где 0 <= 3/2– 4 - <= /2. Окончательно получаем

arccos sin = - 3/2 + 4 + = 7/2 + .

Ответ. 7/2 + (x^2 + x– 3).

22.6. При 0 <= x <= 1 оба арксинуса существуют. Для первого это очевидно, а для второго имеем

Следовательно,

и, тем более,

Введем обозначение

arcsin x = , sin = x, 0 <= <= /2;

Нужно доказать, что - = /4, или - /4 = . Так как -/4 <= - /4 <= /4, то - /4 и лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и равенство самих аргументов. Поскольку

(перед корнем взят знак плюс, так как cos >= 0 при 0 <= <= /2).

Итак, доказано, что sin ( - /4) = sin , откуда следует справедливость нашего равенства.

22.7. Так как x < -1, то -1 < 2x/1 + x^2 < 0. Введем обозначения

Следовательно,

– 3/2 < + 2 < -/2,

т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности синуса. Найдем

После подстановки получим

т. е. + 2 = -.

Ответ.– .

22.8. Из уравнения следует, что

arcsin x = /12 + n/3.

Поскольку -/2 <= arcsin x <= /2, то возможны лишь три значения n = 0, -1, 1.

Если n = 0, то arcsin x = /12,

Если n = -1, то arcsin x = -/4,

x2 = sin (-/4) = -1/2.

Если n = 1, то arcsin x = 5/12,

Ответ.

22.9. Если x — корень данного уравнения, то и -x будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь неотрицательные корни. Если x >= 0, то

Перенеся в правую часть уравнения, получим = - , причем 0 <= <= /2 и -/2 <= - <= /2. Поскольку обе части уравнения находятся в интервале монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому: