Чтение онлайн

или

sin 3/4 sin 3/4 (2x + ) + sin /6 cos 1/6 (2x + ) = 0.

Так как < 12, а 3/4 = 3/4 и /6 = /6, то одно из чисел 3/4 или /6 не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin 3/4 и sin /6 не равно нулю. Пусть, например, sin 3/4 /= 0.

Тогда имеем тождество

что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6 и сравнив для этих x левые части. Получим sin 3/4 = 0, что противоречит предположению.

Ответ. 12.

24.1. Так как sin x– cos^2 x– 1 = sin^2 x + sin x– 2 = (sin x + 1/2 )^2 - 9/4, то функция достигает своего наименьшего значения при sin x + 1/2 = 0.

Ответ. x = (-1)k + 1 /6 + k.

24.2. Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов

y = 1/2 [cos /6– cos (4x– /6)] = 3/4– 1/2 cos (4x– /6).

Чтобы функция y достигла своего наибольшего значения, нужно положить cos (4x– /6) = -1, откуда x = /24 + /4 (2n + 1) = n/2 + 7/24. Наибольшее значение функции равно ymax = 3/4 + 1/2 .

Ответ. При x = n/2 + 7/24 ymax = 3/4 + 1/2 .

24.3. Данную функцию можно записать в виде y = sin x cos x (cos^2 x– sin^2 x), после чего она легко преобразуется: 4y = 2 sin 2x cos 2x = sin 4x.

Ответ. 1/4 .

24.4. Запишем данное выражение в виде (x + y + 1)^2 + (x– 2)^2 - 3. Оно будет иметь наименьшее значение, если одновременно x– 2 = 0 и x + y + 1 = 0.

Ответ.– 3 при x = 2.

24.5. Точки ±1 и ±2 разбивают числовую ось на пять интервалов, в каждом из которых нетрудно найти наименьшее значение y.

1. Если x <= -2, то y = x^2 - 1 + x^2 - 4 - x– 2 - x– 1 = 2x^2 - 2x– 8.

Абсцисса вершины параболы y = 2x^2 - 2x– 8 равна x = -b/2a = 1/2 ,

т. е. при x <= 2 мы находимся левее вершины, функция y на этом участке убывает, а потому наименьшее значение она принимает в самой правой точке интервала: x = -2, y = 4.

2. Если [23]– 2 <= x <= -1, то легко проверить, что y = 4.

3. Если -1 <= x <= 1, то y = -2x^2 + 2x + 8.

Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее значение нужно искать на концах интервала: при x = -1 мы уже видели, что y = 4; при x = 1, y = 8.

4. Если 1 <= x <= 2, то y = 2x + 6. Наименьшим будет значение в точке x = 1.

5. Если x >= 2, то y = 2x^2 + 2x– 2.

Абсцисса вершины этой параболы x = - 1/2 ; она лежит левее точки x = 2. Следовательно, наименьшее значение достигается при x = 2, т. е. y = 10.

Ответ. ymin = 4 при -2 <= x <= -1.

24.6. Заменим a/x на сумму из семи одинаковых слагаемых, каждое из которых равно a/7x. К функции

x7 + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x + a/7x

применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Ответ.

24.7. Если ввести углы x и y (рис. P.24.7), то по теореме синусов AB + BC + 2R(sin x + sin y) = 4R sin [– /2] cos [x– y/2].

Наибольшее значение этого выражения достигается при cos [x– y/2] = 1, т. е. при x– y = 0. Так как x + y = - , то x = /2– /2. Следовательно,

AB = ВС = 2R sin x = 2R cos /2.