Чтение онлайн

Ответ. 2R cos /2.

24 . 8 . Если катеты основания обозначить через а и b, то боковая поверхность призмы равна

Нам известна площадь основания. Поэтому аb = 4. Преобразуем выражение для боковой поверхности так, чтобы участвовали только аb и а + b:

Мы получили монотонную функцию от а + b. Ее наименьшее значение достигается одновременно с наименьшим значением а + b. Поскольку а + b >= 2ab = 4, то равенство достигается, если а = b = 2.

Ответ. 2.

24.9. Так как правильный шестиугольник и квадрат — фигуры центрально-симметричные, то центр вписанного в шестиугольник квадрата должен совпадать с центром шестиугольника. Пусть K (рис. P.24.9) — одна из вершин квадрата, а M — центрально-симметричная ей точка многоугольника.

Обозначим через угол AOK. Тогда 

Чтобы задача имела решение, должно быть OQ >= OK, т. е. sin (30° + ) <= sin . Так как угол а больше угла BOA, то >= 60°. Кроме того, можно считать, что <= 90°, т. е. 60° <= <= 90°. Чтобы для этих углов выполнялось условие

sin (30° + ) <= sin ,

необходимо и достаточно, чтобы 75° <= <= 90°. Из формулы для KO видно, что с увеличением диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, нужно выбрать минимальным из возможных, т. е. = 75°. Тогда

Ответ.

24.10. Обозначим данную дробь через y. Поскольку дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, меньше нуля, уравнения

равносильны. Чтобы x было действительным числом, необходимо и достаточно выполнение условия (3 - 4у)^2 - 4у(6у– 2) >= 0, т. е. 8у^2 + 16у–  9 <= 0. Ему удовлетворяют значения y, для которых -1 - 34/4 <= y <= -1 + 34/4. Правый конец интервала и будет наибольшим значением дроби.

Ответ. 34/4– 1.

24.11. Пусть а, b, с — ребра параллелепипеда. Тогда ограничения, указанные в условии задачи, запишутся в виде системы трех соотношений:

аbс = 7,2, аb + ас + bс <= 12, а + b >= 5.

Преобразуем второе соотношение, приняв во внимание, что а + b >= 5:

аb + ас + bс = аb + с(а + b) >= аb + 5с,

т. е. аb + 5с <= 12. Перепишем теперь первое соотношение в виде аb · 5с = 36. Чтобы решить систему неравенства и уравнения, отыщем точки пересечения прямой x + y = 12 с гиперболой xy = 36, где x = аb, y = 5с. Решая эту систему, найдем единственную точку x = y = 6. Отсюда легко следует, что системе, записанной вначале, отвечают лишь числа с = 6/5, аb = 6. Подставив эти значения во второе соотношение, получим а + b <= 5. Поскольку одновременно а + b >= 5 (третье соотношение), то а + b = 5 наряду с условием аb = 6.

Ответ. 2, 3, 6/5.

24.12. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Второе слагаемое достигает своего наименьшего значения, когда его знаменатель максимален. Поскольку

|sin ( + x) sin ( - x)| = 1/2 |cos 2x– cos 2|,

то наибольшее значение этого выражения достигается при cos 2x = -1, если cos 2 >= 0, 0 < <= /4, и при cos 2x = 1, если cos 2 < 0, /4 < < /2.

В первом случае x = (2k + 1)/2, во втором x = k. И в том и в другом случае первое слагаемое выражения (1) обращается в нуль. Следовательно, при 0 < <= /4 наибольшее значение функции равно 2 tg^2 , а при /4 < < /2 равно 2 ctg^2 .

Ответ. 2 tg^2 при 0 < <= /4, 2 ctg^2 при /4 < < /2·

24.13. Введем обозначения: arcsin x = , arccos x = . Поскольку + = /2, то

^3 + ^3 = ( + )^3 - 3( + ) = ^3/8– 3/2.

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения . Так как >= 0, то наибольшее значение следует искать при > 0. В этом случае ( > 0, > 0) можно записать, что

<= ( + /2)^2 = ^2/16.

Наибольшее значение достигается при = = /4. Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при x = 1/2 и равно

^3/8 - 3^3/32 = ^3/32.

Наименьшее значение произведения , где >= 0, достигается при условии, что < 0, причем желательно, чтобы абсолютные величины и были наибольшими. При x = -1 будет = -/2, = . Именно в этой точке произведение достигает минимума, так как принимает минимальное, а — максимальное из возможных значений. Итак, при x = -1 исходная функция имеет наибольшее значение

^3/8 + 3/2 /2 = 7^3/8.

Ответ. ^3/32, 7^3/8.

24.14. Сделаем следующие преобразования:

y = 2 sin^2 x + 2 cos^2 x + 4(2 cos^2 x) - 2 sin 2x = 2 + 4(1 + cos 2x) - 3 sin 2x = 6 + 4 cos 2x– 3 sin 2x = 6 + 5(4/5 cos 2x– 3/5 sin 2x) = (см. указание I) = 6 + 5(sin cos 2x– cos sin 2x) = 6 + 5 sin( - 2x).