Чтение онлайн

sin = sin ( - ).

Последнее уравнение можно записать в виде

добавив к нему условие |4x/5| <= 1, являющееся в данном случае следствием уравнения. Получаем x1 = 0.

Остается

Делаем проверку иррационального уравнения.

Ответ. ±1, 0.

22.10. Из условия следует, что x > 0. В таком случае

Уравнение примет вид + = /3, и обе его части окажутся в интервале (0, ], который является интервалом монотонности косинуса. Следовательно, уравнение

cos ( + ) = cos /3

равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя тригонометрические функции и их выражениями через x, придем к уравнению

После возведения в квадрат получим

4(1 - 4x^2)(1 - x^2) = (4x^2 + 1)^2.

При переходе к последнему уравнению могут появиться посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим условие |2x| <= 1.

Уравнение 28х^2 - 3 = 0, к которому сводится последнее, имеет корни

Ответ.

22.11. Обозначим

arctg (2 + cos x) = , arctg (2 cos^2 x/2) = .

Так как 2 + cos x > 0 и 2 cos^2 x/2 > 0, то 0 < < /2 и 0 <= < /2.

Уравнение принимает вид - = /4, причем

– /2 < - < /2 и -/2 < /4 < /2.

Так как (-/2, /2) — интервал монотонности тангенса, то уравнение - = /4 равносильно уравнению tg ( - ) = tg /4.

Переходя к уравнению

мы можем потерять те корни, для которых tg или tg не существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку

tg = 2 + cos x, tg = 2 cos^2 x/2,

а правые части существуют всегда. Получаем уравнение

которое после преобразований принимает вид

2 cos4 x/2 + cos^2 x/2 = 0.

Так как уравнение 2 cos^2 x + 1 = 0 не имеет решений, то остается cos x = 0.

Ответ. (2n + 1).

22.12. Пусть

Так как -/2 < - <= /2, то обе части уравнения лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение равносильно такому:

sin ( - ) = sin

или

После упрощений получим уравнение

имеющее единственный корень x = 2/3 . Делаем проверку и убеждаемся, что x = 2/3 является корнем предыдущего уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.

Ответ. 2/3 .

22.13. Введем обозначения

Наше уравнение принимает вид + + = или + = - . Обе части уравнения лежат в интервале (-, ). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей уравнения, то можем потерять лишь корень, которому соответствует значение углов, равное 0, так как это — единственное значение из интервала (-, ), в котором котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться равенство + = - = 0. Если + = 0, то arctg (1 - x) = arctg x, откуда 1 - x = x и x = 1/2 . При x = 1 получим, что - = arctg 3/2– arctg 3/2 = 0. Таким образом, x1 = 1/2 — корень уравнения. Если + /= 0, то от обеих частей уравнения можно взять котангенсы:

ctg ( + ) = ctg ( - ),

что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв скобки и подставив выражения тригонометрических функций , , и через x, получим уравнение

которое равносильно системе

Получаем два значения неизвестного: x2 = 0, x3 = - 1/2 . Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют данному уравнению.

Ответ. 0, ± 1/2 .

23.1. С одной стороны, log3sin x <= 0, так как sin x <= 1, а с другой стороны, log3sin x >= 0, так как это выражение стоит под знаком квадратного корня. Остается единственная возможность:

log3sin x = 0, sin x = 1, x = (4n + 1)/2.

Ответ. (4n + 1)/2.

23.2. Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему

которая эквивалентна неравенству

0 < x^2 - x– 1 < 1, или (х^2 - x– 1)(х^2 - x– 2) < 0,

т. е.

(x– 1 - 5/2)(x - 1 + 5/2)(x + 1)(x– 2) < 0.

Ответ.– 1 < x < 1 - 5/2; 1 + 5/2 < x < 2. 

23.3. Данное выражение принимает действительные значения, если x удовлетворяет неравенству

которое равносильно неравенству

Его можно заменить системой

Ответ. 3/2 < x <= 4.