Чтение онлайн

23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и достаточно, чтобы

– 1 <= x^2 - Зх + 1 <= 1,

т. е.

(х^2 - Зх + 2)(х^2 - Зх) <= 0, или x(x– 1)(x– 2)(x– 3) <= 0,

откуда

0 <= x <= 1, 2 <= x <= 3.

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg 2x не существует, т. е. числа x = (2n + 1)/4. Два из этих чисел: x = /4 и x = 3/4 лежат в найденных интервалах.

Ответ. 0 <= x < /4, /4 < x <= 1, 2 < x < 3/4, 3/4 < x <= 3.

23.5. Данное выражение принимает действительные значения, если удовлетворяется система неравенств

Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая внутри параболы y = x^2, вне круга x^2 + y^2 = 1 и ниже прямой y = 2, причем точки, лежащие на границе и принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область, а точки, лежащие на окружности (кроме точек А и С — рис. P.23.5), входят в область определения.

23.6. Способ 1. Пусть Т — период функции. Тогда

cos (x + Т)^2 = cos x^2

при всех x. Если x = 0, то получим cos Т^2 = 1, откуда Т^2 = 2n. Если x = Т2 , то cos (2 + 1)^2Т^2 = cos 2Т^2, откуда или

(2 + 1)^2Т^2 + 2Т^2 = 2k, или (2 + 1)^2Т^2 - 2Т^2 = 2m,

т. е.

либо (2 + 22)Т^2 = 2k, либо (1 + 22)Т^2 = 2m.

Подставляя в оба выражения Т^2 = 2n, получим соответственно

5 + 22 = k/n или 1 + 22 = m/n,

что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа — рациональные.

Способ 2. Найдем корни функции cos x^2:

Рассмотрим положительные корни

Предположим, что Т > 0 — период функции. Тогда, если при x = х1 функция равна нулю, то и при x = x1 + Т она тоже равна нулю. Другими словами, х1 + Т = xm. Аналогично x2 + Т = хk. Вычитая одно равенство из другого, получим

т. е.

Возведем в квадрат:

После вторичного возведения в квадрат получим

Это равенство возможно лишь при 

23.7. Если f(x) — периодическая функция с периодом Т, то при всех x должно выполняться тождество

sin (x + Т) + cos [а(x + Т)] = sin x + cos аx.

Положив в этом тождестве x = 0, x = -Т и x = Т, получим

Из первого и второго равенств найдем cos aT = 1 и T = 2n/a. Подставим найденное значение Т в последнее уравнение:

sin 4n/a + cos 4n = sin 2n/a + cos 2n,

т. е.

sin 4n/a = sin 2n/a,

откуда или 4n/a–  2n/a = 2k, или 4n/a + 2n/a = (2k + 1), т. e. или а = n/k, или a = 6n/2k + 1. И в том и в другом случае а — рациональное число.

23.8. Период функции cos 3x/2 равен Т1 = 2 : 3/2 = 4/3, период функции sin x/3 равен 6.

Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12. Очевидно, что 12 — период данной функции. Докажем, что это — основной период.

Пусть существует период такой, что 0 < < 12. Тогда имеем тождество

cos 3/2(x + ) - sin x + /3– cos 3/2x + sin x/3 = 0,