Чтение онлайн

Поэтому искомое число перестановок равно

Р5– (2P4– Р3) = 78.

Ответ. 78.

21.3. Из семи разрядов три должны быть заняты двойками, что дает

 вариантов. На каждое из оставшихся мест можно поместить любую из восьми цифр, благодаря чему каждый из предыдущих вариантов даст еще 84 возможностей.

Ответ.

21.4. Предположим, что в каждое число входят три различные единицы: l1, l2, l3, а остальные цифры 0, 2, 3, 4 и 5 равноправны. Тогда можно получить Р8 различных чисел. Отсюда нужно исключить Р7 чисел, начинающихся с нуля.

На самом деле разные единицы неразличимы. Другими словами, вместо одного числа мы получим Р3 одинаковых чисел, отличающихся лишь взаимными перестановками единиц.

Ответ.

21.5. Предположим, что каюты неравноценны. Это дает в 8! раз больше вариантов, чем в случае равноценных кают, что мы учтем позднее.

В первую каюту можно заселить любых четырех из 32 экскурсантов, что можно сделать

 способами, во вторую — любых четырех из 28 оставшихся и т. д. В итоге получим

способов. Это число остается разделить на 8! и произвести упрощения.

Ответ.

.

21.6. Рассмотрим k– й член суммы

Данную сумму можно переписать в виде

Ответ. n · 2n– 1.

21.7. Из разложения

выделим действительную часть и приравняем действительной части комплексного числа (1 + i)n. В самом деле,

т. е.

где n– 1 <= 2k <= n.

Последнее ограничение означает, что через 2k обозначено то из чисел n– 1 и n, которое является четным.

Ответ.

21.8. Условию задачи удовлетворяют такие n, для которых равенство

выполняется хотя бы для одного k. Заметим, что 1 <= k <= n– 1; n >= 2. Равенство (1) перепишем в виде

что после простых преобразований даст

4k^2 - 4nk + п^2 - n– 2 = 0,

откуда

Чтобы выражение в правой части было целым, нужно сначала потребовать

n + 2 = m^2, т. е. n = m^2 - 2.

Поскольку n >= 2, то т^2 >= 4 и m >= 2. Тогда

Если взять знак минус, получим

Число, стоящее в числителе, четное при всех m. Значение m = 2 нужно исключить, так как тогда k1 = 0, что невозможно. Если же m >= 3, то m + 1 >= 4, а m– 2 >= 1. Следовательно, k1 >= 2. Потребуем теперь, чтобы выполнялось второе условие: k1 <= n– 1, т. е.

 что равносильно неравенству m^2 + m– 4 >= 0. Последнее неравенство справедливо при всех m >= 3.

Остается исследовать

Так как условие n >= 2, из которого следует, что m >= 2, должно выполняться и для k2, то формула (3) по сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение: m = 2. Однако при m = 2 получим, что k2 = 2 и n = 2. Это противоречит требованию k <= n– 1. Таким образом, формула (3) не дает новых значений m, а следовательно, и n.

Ответ. n = m^2 - 2, где m = 3, 4, 5, ... .

21.9. Так как

(a + b + c + d)n = [(a + b) + (c + d)]n = (a + b)n + Cn1(a + b)n– 1(c + d) + ... + (c + d)n,

то после раскрытия скобок получим все неподобные члены. Их число будет равно

(n + 1) · 1 + n · 2 + (n– 1) · 3 + ... + 2n + 1(n + 1),

где для симметрии к крайним членам приписаны множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее k– й член: (n + 2 - k) = (n + 2)k– k^2. Тогда наша сумма примет вид

Ответ.

21.10. Предположим, что 0 <= k <= n– 1. Запишем данное выражение в виде

(1 + x + x^2 + ... + xk– 1 + xk + xk + 1 + ... + xn– 1)^2.