Избранные научные труды
Шрифт:
и
1
r
+
1
r
+
1
r
1
+
1
z
=0.
(11)
Полагая, что p, , , и соответственно 1, 1, 1 имеют вид f(r)ein+ibz, из уравнения (4) получаем
^2p
=
^2p
r^2
+
1
r
p
r
–
p
n^2
r^2
+b^2
=0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее условию ограниченности при r=0, имеет вид
p=
AJ
n
(ibr)e
in+ibz
,
(12)
где Jn функция Бесселя n-го порядка. Из уравнений (6) имеем
^2-ib
c
1
=
^22
r^2
+
1
r
1
r
–
1
m^2
r^2
+
d^2
=0,
d^2
=
a^2
+
ib
c
,
(13)
откуда
1
=
BJ
n
(idr)e
in+ibz
.
(14)
Исключая 1 из уравнений (10) и (11), имеем
r
^2-ib
c
1
+2
1
r
+
1
r
=-2
1
z
,
откуда
^2-ib
c
(r
1
)
=-2
ib
J
n
(idr)e
in+ibz
(15)
Поскольку, однако,
^2-ib
c
r
r
=
r
r
^2-ib
c
+2
^2
r^2
+
2
r
r
+
2
r^2
^2
^2
=
=
r
r
+2
^2-ib
c
– 2
^2
z^2
– ib
c
,
это даёт
^2-ib
c
r
r
J
n
(idr)e
in+ibz
=
=2
b^2-ib
c
J
n
(idr)e
in+ibz
=
2b^2
J
n
(idr)e
in+ibz
,
(16)
и из соотношений (15) и (16) следует, что
1
=
b
d
BJ
'
n
(idr)
+
C
1
r
J
n
(idr)
e
in+ibz
,
(17)
а из (11) получаем
–
1
1
r
=
1
r
+
1
r
+
1
z
=
=
B
ib
J
''
n
(idr)
+
b
1
d
r
J
'
n
(idr)
+
ib
J
n
(idr)
+
C
ib
1
r
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
.
(18)
С помощью соотношения
J
''
n
(x)
+
1
x
J
'
n
(x)
+
1-
n^2
x^2
J
n
(x)
=0
(19)
из уравнения (18) имеем
1
=
B
nb
1
d
r
J
n
(idr)
– C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
.
(20)
Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для p, 1, 1 и 1, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем
=
– A
1
c
J
'
n
(ibr)
+B
b
d
J
'
n
(idr)
+C
1
r
J
n
(idr)
e
in+ibz
,
=
– A
n
1
bc
r
J
n
(ibr)
+B
bn
1
d^2
r
J
n
(idr)
+C
d
n
J
'
n
(idr)
e
in+ibz
,
w=c+=c+
– A
1
e
J
n