Избранные научные труды
Шрифт:
1
a
–
a^2
–
1
a^2
^2
^2
+
^2
a^3
+
1
2a^3
^2
+
2
a^3
^2
^2
+
F(t)=0
.
(57)
Подставляя значения (55) для , и q, получаем во втором приближении
t
+
r
r=a
=-
n^2(2n-1)
4q
a
2n-3
A^2cos 2n sin 2qt
+
+
n^2
4q
a
2n-3
A^2sin 2qt
(58)
и
t
r=a
– T
1
a
–
a^2
–
1
a^2
^2
^2
+
F(t)=
=-
n(2n-1)(n^2+2n-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2(cos 2n sin 2qt + cos 2n)
–
–
n(4n^3+3n^2-4n-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2 cos 2n
–
n(3n^2-2)
8(n^2-1)
a
2n-2
A^2
.
(59)
Исключая из равенств (58) и (59), находим
^2
t^2
–
T
a^2
r
+
^3
r^2
r=a
+
F'(t)
=
=-
3qn(n-1)(2n+1)
4(n+1)
a
2n-2
A^2 cos 2n sin 2qt
+
+
4
qn(4n+3)
a
2n-2
A^2 sin 2qt
.
(60)
Полагая
F'(t)
=
4
qn(4n+3)
a
2n-2
A^2 sin 2qt
,
мы видим, что уравнению (60) удовлетворяет функция
=
Ar
n
cos n sin qt
–
3n(n-1)^2(2n+1)
8(2n^2+1)qa^2
A^2r
2n
cos 2n sin 2qt,
(61)
где, как и в первом приближении,
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
.
(62)
Подставляя это в (58), получаем
t
=-
na
n-1
A
cos n sin qt
+
+
A^2
n^2
4q
2n^3-7n^2-2n+4
2n^2+1
a
2n-3
cos 2n sin 2qt
+
+
A^2
n^2
4q
a
2n-3
sin 2qt,
(63)
а из (63) имеем
=-
n
q
A
a
n-1
cos n cos qt
–
–
A^2
n^2
8q^2
2n^3-7n^2-2n+4
2n^2+1
a
2n-3
cos 2n cos 2qt
–
–
A^2
n^2
8q^2
a
2n-3
cos 2qt
+
f.
(64)
Подставляя в (59) найденные значения для , q, и F'(t), имеем уравнение
f
+
f'
=-
A
n^2
8q^2
(2n+1)(n^2+2n-2)
a
2n-3
cos 2n
+const,
которому удовлетворяет функция
f
=
A^2
n^2
8q^2
n^2+2n-2
2n+1
a
2n-3
cos 2n
+C.
(65)
Из условия (49) в этом случае получаем
C=-
A^2
n^2
8q^2
a
2n-3
.
(66)
Формулы (64), (65) и (66) дают
=
n
q
A
a
n-1
cos n cos qt
–
–
A^2
n^2
8q^2
2n^3-7n^2-2n+4
2n-1
a
2n-3
cos 2n cos 2qt
+
+
A^2
n^2
8q^2
n^2+2n-2
2n-1
a
2n-3
cos 2n
–
–
A^2
n^2
8q^2
a
2n-3
cos 2qt
–
A^2
n^2
8q^2
a
2n-3
.
(67)
ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из уравнений (47) и (48) находим
t
+
r
–
1
r^2
+
^2
r^2
+
^2
2
^3
r^3
+
+
2
r^3
–
r^2
^2
r
r=a
=0
(68)
и
t
+
^2
rt
+
^2
2
^2
r^2t
–
1
2
r