Избранные научные труды
Шрифт:
t
–
1
r^2
+
r
r=a+
=0
(45)
и
t
–
1
2
r
^2
+
1
r^2
^2
r=a+
– T
(a+)^2+2
^2
–
–
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
– 3/2
+
F(t)
=0.
(46)
Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия r=a, будем считать малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом должно быть величиной также первого порядка малости, если F(t) определено таким образом, что не содержит членов, не зависящих от r или .
Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора
t
+
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
r
–
1
r^2
r=a
=0
(47)
и
1+
r
+
^2
2
^2
r^2
+…
t
–
1
2
r
^2
–
1
2r^2
^2
r=a
–
– T
(a+)^2+2
^2
–
(a+)
^2
^2
(a+)^2
+
^2
– 3/2
+
F(t)
=0.
(48)
Из уравнений (43), (47) и (48) может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия
2
0
a+
0
rdrd
=
2
0
1
2
(a+)^2d
=
a^2.
(49)
ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем
t
+
r
r=a
=0
(50)
и
t
r=a
– T
1
a
+
a^2
–
1
a^2
^2
^2
+
F(t)
=0.
(51)
Исключая из равенств (50) и (51), получаем
^2
t^2
–
T
a^2
r
+
^2
r^2
r=a
+
F'(t)
=0.
(52)
Если F'(t)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция
=Ar
n
cos n sin qt,
где
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
(53)
Подставляя это выражение в равенство (50), находим
t
=-
na
n-1
A cos n sin qt,
=
n
q
a
n-1
A cos n cos qt+f
.
(54)
Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение
f
+
f''
=const,
которому удовлетворяет функция
f=C.
При этом из (49) следует, что
C=0.
В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:
r=a+
b
n
cos(n+
n
)
cos(q
n
t+
n
),
где
q
2
n
=
T
a^3
(n^3-n).
Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.
Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид
=Ar
n
cos n sin qt,
=
n
q
a
n-1
A cos n cos qt+f
,
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
.
(55)
ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
Из (47) в (48) имеем
t
+
r
+
^2
r^2
–
1
r^2
r=a
=0
(56)
и
t
+
^2
rt
–
1
2
r
^2
–
1
2
^2
r=a
–
– T