Избранные научные труды
Шрифт:
r=a+b
cos n cos qt
+
b^2
a
–
2n^3-7n^2-2n+4
8(2n^2+1)
cos 2n cos 2qt
+
+
n^2+2n-2
8(2n-1)
cos 2n
–
1
8
cos 2qt
–
1
8
+
b^3
a^2
(…)+…
,
(76)
где
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
1-
b^2
a^2
(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)
16(2n^2+1)(2n-1)
+
+
b4
a4
(…)+…
.
В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи c столь велика, что длина волны велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).
Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде
r=a+b
cos n cos kz
+
+
N
1
b^2
a
1+
1,1
a
2
1+
1,2
a
4
+…
cos 2n cos 2kz
+
+
N
2
b^2
a
1+
2,1
a
2
+…
cos 2n
+…
и
k^2
=
1
c^2
T
a^3
(n^3-n)
1+
1
a
2
+
2
a
4
+…
x
x
1+
M
1
b^2
a^2
1+
1
a
2
+…
+
M
2
b4
a4
(1+…)+…
,
где константы N1, N2, … и M1, M2, … равны соответствующим константам в уравнении (76) при подстановке в него t=z/c, и q=2/c=k/c.
Пренебрегая поправками более высокого порядка по b/a, пользуясь формулой Рэлея для длины волны бесконечно малых трёхмерных колебаний [см. соотношение (36)] и полагая для простоты n=2 (что соответствует проведенным экспериментам), получаем
r=a+b
cos 2 cos kz
+
b^2
6a
cos 4 cos 4kz
+
b^2
4a
cos 4
–
–
b^2
8a
cos 2kz
–
b^2
8a
…
(77)
и
k^2
=
Tika
J
'
2
(ika)
c^2a^3 J
2 (ika)
(3+a^2k^2)
1-
l^2
k^2
37
24
.
(78)
Формула (78) даёт искомую поправку к длине волны.
Из уравнения (77) можно сделать ещё некоторые заключения. Полагая z=0, получаем
r=a-
b^2
4a
+b cos 2+
5
12
b^2
a
cos 4+… .
(79)
Такой вид должно иметь уравнение границы отверстия, из которого вытекает струя, чтобы колебания были чисто периодическими (предполагается, что скорость в каждой точке сечения струи у отверстия одна и та же по величине и направлению). Отсюда видна ошибочность точки зрения П. О. Педерсена, согласно которой струя, вытекающая из отверстия с уравнением границы r=+ cos 2, должна совершать колебания более близкие к чисто периодическим, чем струя из эллиптического отверстия (r=+ cos 2 + 3/4·^2/ cos 4…).
Полагая =0, имеем
r=a
+
b^2
8a
+b cos kz
+
1
24
b^2
a
cos 2kz
+…
(80)
Формула (80) представляет собой уравнение волнового профиля, получаемого при пересечении поверхности струи одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Максимальное и минимальное значения r получаются из (80) соответственно при z=2n/k и z=(2n+1)/k Имеем
1
2
r
макс
+r
мин
=
a
1+
1
6
b^2
a^2
;
1
2
r
макс
– r
мин
=
b.
(81)
Эти формулы будут использоваться при измерениях струй.
УЧЁТ ВЛИЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО ВОЗДУХА
До сих пор мы пренебрегали плотностью воздуха 1. Однако малая поправка к длине волны из-за инерции воздуха легко может быть получена с достаточной точностью из следующего расчёта, в котором рассматриваются бесконечно малые двумерные колебания цилиндрической поверхности, разделяющей две жидкости с различной плотностью.
1 Рэлей (Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145) изучал соответствующую проблему в случае, когда при колебаниях сохраняется симметрия относительно оси жидкого цилиндра.
Считая жидкости невязкими, предположим существование потенциала скорости . Полагая
=
f(r)
e
in+iqt
получим уравнение
^2f
r^2
+
1
r
f
r
–
n^2
r^2
f
=0,
из которого следует
f(r)
=
Ar
n
–
Br
– n
.
Так как скорость должна быть конечной, как внутри, так и вне цилиндра, потенциал должен иметь вид
1
=Ar
n
e
in+iqt
внутри цилиндра и
2
=Br