Избранные научные труды
Шрифт:
2
0
2n(n
2
– 1)
1+
n-1
ad
+
(n-1)(2n-3)
2a^2d^2
–
– k
2
0
=0.
(37)
В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),
iad
=
ia
ik
0
c
1/2
=
(1-i)
a^2k0c
1/2
,
где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть iad была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k
2
0
2n(n
2
– 1)
1-(1-i)
n-1
2
2
ca^2k0
1/2
–
– i
(n-1)(2n-3)
4
2
ca^2k0
– k
2
0
=0.
(38)
Решая равенство (38) относительно b, получаем, полагая b=k+i,
k=k
0
1-
n(n-1)^2
2
2
ca^2k0
3/2
–
3n(n-1)^2
4
2
ca^2k0
^2
(39)
и
=
·
2n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k
2
0
2n(n
2
– 1)
1-
n-1
2
2
ca^2k20
1/2
.
(40)
Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением
r=a+be
– z
cos kz sin n,
где k и определяются формулами (39) и (40).
Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем
T
=
k^2
c^2a^3 J
n (iak)
iak J
'
n (iak) (n^2-1+a^2k^2)
1+n(n-1)^2
2
ca^2k
3/2
+
+
3n(n-1)^2
2
2
ca^2k
^2
.
(41)
УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ
Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом 1.
1 G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.
Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.
При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости . Используя полярные координаты и обозначая через и соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем
= -
r
,
= -
1
r
.
Считая жидкость несжимаемой, получаем
r
+
r
+
1
r
= -
^2
r^2
+
1
r
r
+
1
r^2
^2
^2
=0.
(42)
Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при r=0, может быть записано в виде
=
A
n,q
r
n
cos(n+
n
)
sin(qt+
q
),
(43)
где n — положительные целые числа.
Уравнение поверхности жидкости запишем в виде
r=a+, =(,t).
Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид
D
Dt
(a--r)
=
t
+
r
+
r
(a--r)
и
p-
T
R
=0,
(44)
где R — радиус кривизны поверхности.
Из равенства (44) находим
<