Избранные научные труды
Шрифт:
– 1/2
[
P
n
(x)
+
iQ
n
(x)
]
exp i
x-
2n+1
4
[
P
n
(x)
–
iQ
n
(x)
]
exp -i
x-
2n+1
4
(30)
где
P
n
(x)
=
1-
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)
2!(8x)^2
+
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)(4n^2-7^2)
4!(8x)4
– …
и
Q
n
(x)
=
4n^2-1^2
1!8x
–
(4n^2-1^2)(4n^2-3^2)(4n^2-5^2)
3!(8x)3
+…
Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части x, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для Jn(x) при больших x. При использовании формулы (30) x можно записать в виде a-ib, где a и b — большие положительные числа. При этом член с eix будет преобладающим; пренебрегая членом с e– ix, имеем
J
'
n
(x)
=
iJ
n
(x)
1+
i
2x
–
4n^2-1
8x^2
+
i(4n^2-1)
8x^3
– …
и, согласно (19),
J
''
n
(x)
=
– J
n
(x)
1+
i
x
–
2n^2-1
2x^2
–
i(4n^2-1)
8x^3
– …
.
Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим
J
'
n
(iad)
=
iJ
n
(iad)
1+
1
2ad
+
4n^2-1
8a^2d
и
J
''
n
(iad)
=
J
n
(iad)
1+
1
ad
+
2n^2+1
2a^2d^2
(31)
Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем
A
1
c
J
n
(iab)
2n(n-1)
a^2b
1+
a^2b^2
2(n-1)(n+1)
+
+
BJ
n
(iad)
2nb
ad
1+
3
2ad
+
4n^2-1
8a^2d^2
–
–
C
n
J
n
(iad)
id^2
n
1+
2
ad
+
2n^2+1
a^2d^2
=0
(32)
и
A
1
c
J
n
(iab)
2n
a
1+
a^2b^2
2n(n+1)
+
+
BJ
n
(iad)
d
1+
1
2ad
+
4n^2-1
8a^2d^2
–
CJ
n
(iad)
ib
a
=0.
(33)
Из соотношений (32) и (33) находим
BJ
n
(iad)
A
1
c
J
n
(iab)
2n
ad
1+
a^2b^2
2n(n+1)
1-
1
2ad
–
12n^2-8n-3
8a^2d^2
и
CJ
n
(iad)
A
1
c
J
n
(iab)
i2n^2(n-1)
a^2d^2b
1+
a^2b^2
2(n^2-1)
1-
2
ad
–
2n^2-3
a^2d^2
.
(34)
Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
a^2b^2
n(n-1)
1+
n-1
ad
+
(n-1)(2n-3)
2a^2d^2
–
– T
iba J
'
n
(iab)
pc^2a^3 J
n (iab)
(n^2-1+a^2b^2)=0.
(35)
Полагая в формуле (35) =0, получаем решение Рэлея
b
2
0
=
iba J
'
n
(iab
0
)
pc^2a^3 J
n (iab0)
(n^2-1+a^2b
2
0
)=
=
b(n^3-n)
pc^2a^3
1+
(3n-1)a
2
b
2
0
2n(n
2
– 1)
+
3(n+3)a
4
b
4
0
8n(n-1)(n+1)
2
(n+2)
+…
.
(36)
Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через k0.
Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем
b^2-ib
·
4n(n-1)
a^2c
1+
(5n+1)a^2k