Избранные научные труды
Шрифт:
(ibr)
+B
J
n
(idr)
e
in+ibz
.
(21)
Предположим, что уравнение поверхности имеет вид
r-a==D
e
in+ibz
.
Из общего граничного условия на поверхности имеем
D
Dt
(r-a-)
=
r
+
r
+w
z
(r-a-)
=0,
откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим
a-c
z
=0,
=-
i
cb
.
(22)
Обозначая главные радиусы кривизны через R1 и R2, получаем, далее, аналогичным образом
1
R1
+
1
R2
=
1
a
–
a^2
–
1
^2
a^2
^2
–
^2
z
=
1
a
–
i(n^2-1+b^2a^2)
a^2cb
.
(23)
Пусть Pr, P и Pz — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось X и используя общепринятые обозначения, имеем
P
r
=
p
x,x
=
– p
+2
u
x
,
P
=
p
x,y
=
v
x
+
u
y
,
P
z
=
p
x,z
=
w
x
+
u
z
.
Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая =0, получаем
P
r
=
– p
+2
r
,
P
=
r
+
1
r
–
r
,
P
z
=
z
+
w
r
.
(24)
Введём коэффициент поверхностного натяжения T; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде
T
1
R1
+
1
R2
+
P
r
=const,
P
=0,
P
z
=0;
(25)
отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем
– T
i(m^2-1+a^2b^2)
a^2cb
– p+2
r
r=a
=0,
(26)
1
r
+
r
–
r
r=a
=0,
z
+
w
r
r=a
=0.
(27)
Подставляя в эти условия значения p, , и w, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая B/A и C/A, получаем уравнения для определения b. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.
В экспериментах численное значение величины | iab | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | iad |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | iab | < 0,24 и | iad | > 20.)
При всех значениях x справедливо разложение
J
n
(x)
=
xn
2n·n!
–
xn+2
2n+2·1!(n+1)!
+
xn+4
2n+4·2!(n+2)!
– …
(28)
Ряд (28) быстро сходится при малых x, но очень медленно — при больших x. Из разложения (28) следует
J
'
n
(x)
=
n
x
J
n
(x)
1-
x2
2n(n+1)
–
x4
23·n(n+1)2(n+2)
– …
и далее с помощью (19)
J
''
n
(x)
=
n(n-1)
x^2
J
n
(x)
1-
x^2(2n+1)
2(n-1)n(n+1)
+
x4
23(n-1)n(n+1)2(n+2)
…
.
Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения b, мы будем полагать
J
'
n
(iab)
=-
in
ab
J
n
(iab)
1+
a^2b^2
2n(n+1)
и
J
''
n
(iab)
=-
n(n-1)
a^2b^2
J
n
(iab)
1+
a^2b^2(2n+1)
2(n-1)n(n+1)
.
(29)
Для вычисления Jn(x) при больших значениях x мы воспользуемся асимптотическим выражением
J
n
(x)
~
(2x)