Избранные научные труды
Шрифт:
^2
–
1
2r^2
^2
–
–
^2
r^2
r
–
r^2
^2
r
+
r^3
^2
r=a
–
– T
1
a
–
a^2
–
1
a^2
^2
^2
+
^2
a^3
+
1
2a^3
^2
+
+
2
a^3
^2
^2
–
3
a4
–
3
2a4
^2
–
3
a4
^2
^2
+
3
2a4
^2
^2
^2
+
F(t)=0
.
Подставляя сюда значения , и q из формул (61), (62) и (67), получаем (чтобы не усложнять выкладки сверх необходимого, мы ограничимся вычислением лишь тех членов, которые дают вклад в изменение q)
t
+
r
r=a
=
n^3(n^2-1)(28n^3-42n^2+35n-6)
32q^2(2n^2+1)(2n-1)
x
x
A
3
a
3n-5
cos n sin qt
+
+
P
1
cos 2n sin 2qt
+
P
2
sin 2qt
+
P
3
cos 3n sin 3qt
+
+
P
4
cos 3n sin qt
+
P
5
cos n sin 3qt
(70)
и
t
r=a
– T
1
a
–
a^2
–
1
a^2
^2
^2
+
F(t)
=
=
–
n^2(n^2-1)(40n^3-24n^2+65n-30)
32q^2(2n^2+1)(2n-1)
A
3
a
3n-5
cos n sin qt
+
+
Q
1
cos 2n cos 2qt
+
Q
2
cos 2n
+
Q
3
cos 2qt
+
Q
4
+
+
Q
5
cos 3n cos 3qt
+
Q
6
cos 3n cos qt
+
Q
7
cos n cos 3qt
(71)
Исключая из соотношений (70) и (71), находим
^2
t^2
–
S
a^2
r
+
^3
r^2
r=a
+
F'(t)
=
=
–
n^2(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)
16q^2(2n^2+1)(2n-1)
A
3
a
3n-5
cos n sin qt
+
+
S
1
cos 2n sin 2qt
+
S
2
sin 2qt
+
S
3
cos 3n sin 3qt
+
+
S
4
cos 3n sin qt
+
S
5
cos n sin 3qt
(72)
Полагая F'(t)=S2 sin 2qt, уравнению (72) можно удовлетворить при
Q=
Ar
n
cos n sin qt
+
A
1
r
2n
cos 2n sin 2qt
+
+
A
2
r
3n
cos 3n sin 3qt
+
A
3
r
3n
cos 3n sin qt
+
+
A
4
r
n
cos n sin 3qt
,
(73)
если
q^2
=
T
a^3
(n^3-n)
1-
A^2
a
2n-4
n^2(n^2-1)(34n^3-33n^2+50n-18)
16q^3(2n^2+1)(2n-1)
.
(74)
Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем
=A
n
q
a
n-1
1-
A^2
n^2
q^2
a
2n-4
(n^2-1)(28n^3-42n^2+35n-6)
32(2n^2+1)(2n-1)
x
x
cos n sin qt
+
+
B
1
cos 2n cos 2qt
+
B
2
cos 2n
+
B
3
cos 2qt
+
B
4
+
+
B
5
cos 3n cos 3qt
+
B
6
cos 3n cos qt
+
B
7
cos n cos 3qt
,
(75)
где коэффициенты B1, B2, B3 и B4– те же, что и во втором приближении, а B5, B6 и B7 — величины порядка A^3.
Полагая коэффициент при cos n cos qt в формуле (75) равным b, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид