Чтение онлайн

Нахождение функции S(t) из уравнения (27.40) полностью определяет поле L– излучения в туманности, так как после этого из уравнения (27.37) может быть найдена и интенсивность излучения I(t,). Через функцию S(t) можно выразить и другие физические величины, связанные с L– излучением. Например, из формул (27.27) и (27.31) мы получаем следующее выражение для степени возбуждения второго уровня атома водорода:

n

n

=

g

g

c^2

2h^3

S(t)

.

(27.44)

Здесь мы воспользовались также формулами (8.12) и (8.5).

Ядро интегрального уравнения (27.40) выражается через функцию K(t), которая в свою очередь зависит от величины (x). Поэтому и искомая функция S(t) будет существенно зависеть от величины (x), характеризующей контур коэффициента поглощения.

Первоначально в теории диффузии L– излучения в туманностях принимался прямоугольный контур коэффициента поглощения, т.е. считалось, что (x)=1 при |x|<=1 и (x)=0 при |x|>1. В таком случае уравнение (27.40) имеет вид

S(t)

=

1

2

t

0

E|t-t'|

+

E(t+t')

S(t')

dt'

+

S(t)

.

(27.45)

Здесь мы не будем заниматься решением этого уравнения, а только укажем, что в результате получаются очень большие значения для плотности L– излучения в туманности. Это значит, что L– квант испытывает в туманности очень большое число рассеяний. Именно, среднее число рассеяний оказывается порядка квадрата оптической толщины туманности в центре линии L, т.е.

N

t^2

.

(27.46)

Следовательно, при t10 будет N10.

Однако предположение о прямоугольном контуре коэффициента поглощения является весьма грубым. В действительности коэффициент поглощения максимален в центре линии и постепенно убывает с удалением от него. Вследствие этого диффузия излучения в спектральной линии обладает следующей особенностью. Каждый квант, поглощённый в каком-либо месте туманности, может быть затем излучён на любом расстоянии от центра линии (так как ~k). В частности, он может быть излучён с такой частотой, что оптическая толщина туманности в этой частоте будет по порядку меньше единицы (т.е. t=t(x)). Такой квант беспрепятственно выйдет из туманности. Следовательно, для каждого кванта, поглощённого в любом месте туманности, имеется определённая вероятность выйти из туманности наружу сразу после переизлучения. Очевидно, что такой процесс не может происходить в случае прямоугольного контура коэффициента поглощения. В этом случае квант выходит из туманности наружу только после длительной диффузии, подойдя близко к границе туманности.

Указанная особенность диффузии излучения в спектральной линии позволяет легко получить приближённое решение уравнения (27.40). Из сказанного выше следует, что L– квант, возникший в каком-либо месте туманности, выходит из неё наружу после диффузии в сравнительно небольшой области. Следовательно, плотность L– излучения в данном месте мало зависит от плотности излучения в далёких от него частях туманности. Поэтому в уравнении (27.40) мы можем приближённо вынести за знак интеграла значение функции S(t') при t'=t. Сделав это, получаем

S(t)

1-

0

K(u)

du

+

1

2

t-t

K(u)

du

+

+

1

2

t+t

K(u)

du

=

S(t)

.

(27.47)

Но из (27.41) следует

0

K(u)

du

=

1.

(27.48)

Поэтому из (27.47) находим

S(t)

=

2S(t)

L(t-t)+L(t+t)

,

(27.49)

где

L(t)

=

t

K(u)

du

=

A

+

–

^2(x)

E[(x)t]

dx

,

(27.50)

Et — вторая интегрально-показательная функция.

Легко видеть, что величина 1/2 [L(t-t)+L(t+t)] представляет собой долю L– квантов, выходящих из туманности, из общего числа L– квантов, излучаемых на оптическом расстоянии t от внутренней границы туманности. Следовательно, соотношение (27.49) выражает равенство между собой числа L– квантов, возникающих в данном объёме из Lc– излучения, и числа L– квантов, излучаемых этим объёмом и покидающих туманность.

Мы можем считать, что отношение S(t)/S(t) приближённо определяет собой среднее число рассеяний, испытываемых L– квантом, возникшим на оптическом расстоянии t. Из формулы (27.49) следует, что это число приближённо равно

N(t)

=

2

L(t-t)+L(t+t)

.

(27.51)

Формулу (27.51) легко понять и на основании физического смысла величины L(t).

Рассмотрим в виде примера случай, когда коэффициент поглощения имеет доплеровский профиль, т.е. (x)=e– x^2. В этом случае

K(t)

=

2

0

(x)=e

– 2x^2

E(te

– x^2

)

dx

(27.52)

и

L(t)

=

2

0

(x)=e

– x^2

E(te

– x^2

)

dx

(27.53)

При t>>1 из (27.52) и (27.53) вытекают следующие асимптотические формулы:

K(t)

=

1

2 t^2 ln t

(27.54)

и

L(t)

=

1

2 t ln t

.

(27.55)

Подставляя выражение (27.55) в формулы (27.49) и (27.51), мы получаем приближённые формулы для величин S(t) и N(t) соответственно. В частности, среднее число рассеяний L– кванта, возникшего на внутренней границе туманности, приближённо равно

N(0)

=

2

t

ln t

(27.56)

Мы видим, что формула (27.56) даёт для величины N гораздо меньшие значения, чем формула (27.46). Например, при t=10 по формуле (27.56) получается значение N10 вместо значения N10 даваемого формулой (27.46). Такой результат вполне понятен: при доплеровском профиле коэффициента поглощения квант может выходить наружу во внешних частях линии при излучении в любом месте туманности, в то время как при прямоугольном контуре коэффициента поглощения он лишён этой возможности. Вместе е тем следует заметить, что среднее число рассеяний L– кванта в туманности, даваемое формулой (27.56), остаётся все же очень большим. Объясняется это малостью доли квантов, которые могут выйти из туманности во внешних частях линии [т.е. там, где t(t)<<1] при большой оптической толщине туманности в центре линии.