Чтение онлайн

8.1. Положив x– 5 = y, приведем уравнение к виду

(y + 1/2 )4 + (y– 1/2 )4 = 1, или (2у + 1)4 + (2у– 1)4 = 16,

откуда после простых преобразований получим

16y4 + 24y2– 7 = 0.

Ответ. x1,2 = 5 ± i7/2; x3 = 4,5; x4 = 5,5. 

8.2. Перемножим попарно первую и третью скобки и две оставшиеся:

(12х^2 + 11х + 2)(12х^2 + 11х– 1) = 4.

Обозначив 12х^2 + 11х + 1/2 = y, получим

(y + 3/2)(y– 3/2) = 4,

откуда

y1 = -5/2, у2 = 5/2.

Остается решить два квадратных уравнения.

Ответ.

8.3. Запишем уравнение в виде

x^2 - 17 = 3y^2

и рассмотрим случаи x = 3k, x = 3k ± 1. B первом случае левая часть примет вид 9k^2 - 17 и не будет делиться на три. B остальных двух случаях в левой части получим

9k^2 ± 6k– 16,

что снова не делится на три. Поскольку правая часть всегда делится на три, то уравнение не имеет целых решений.

8.4. Решим уравнение относительно x:

Так как уравнение имеет действительные корни лишь при

25 - y^2 >= 0, т. е. |y| <= 5,

то остается перебрать все целые значения y, для которых

Ответ. (10, 0), (-10, 0); (-1, -3), (-17, -3); (1, 3), (17, 3); (-6, -4), (-18, -4); (6, 4), (18, 4); (-15, -5), (15, 5).

8.5. По определению деления имеем тождество

x99 + x^3 + 10х + 5 = Q(x) (x^2 + 1) + ax + b,

которое справедливо всюду в области комплексных чисел. Так как частное Q(x) нам неизвестно и оно нас не интересует, то в качестве значения x нужно выбрать один из корней выражения x^2 + 1, например x = i. Подставив x = i, получим

i99 + i^3 + 10i + 5 = аi + b, т. е. 8i + 5 = аi + b,

откуда а = 8, b = 5.

Ответ. 8х + 5.

8.6. Перепишем уравнение в виде

y^2 2x^2 + 1/x^2 + 2 = 6.

Если x^2 >= 1, то 2x^2 + 1/x^2 + 2 >= 1. 

Так как x = 0 не является целочисленным решением уравнения, то можно утверждать, что y^2 <= 6. Остается рассмотреть случаи: y^2 = 0, y^2 = 1, y^2 = 4. Первый и второй не приводят к действительным значениям x. Для y^2 = 4 находим x^2 = 4.

Ответ. (2, 2), (2, -2); (-2, 2), (-2, -2).

8.7. Подставим в данное уравнение x = 3 + 1. После простых вычислений и преобразований получим

36 + 10а + 4b + (22 + 6а + 2b)3 = 0.

Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:

(1).

Решая эту систему, найдем а = -4, b = 1. Поскольку уравнение

x4– 4x^3 + x^2 + 6x + 2 = 0

одним из своих корней имеет число 3 + 1, а все коэффициенты уравнения — целые, то следует ожидать, что наряду с этим корнем должен существовать и корень 3 - 1. Подставим это значение x в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим

36 + 10а + 4b– (22 + 6а + 2b)3 = 0,

что приводит к той же системе уравнений (1) и имеет место при а = -4, b = 1. Следовательно, x = 1 - 3 — второй корень данного в условии уравнения.

Разделив многочлен x4– 4x^3 + x^2 + 6x + 2 на