Чтение онлайн

Таким образом, x = а — корень уравнения

f(x) + (x) = (x) + (x). (2)

Обратно: если x = а — корень (2), то имеет место равенство (1), а потому x = а — корень уравнения f(x) = (x).

Вторую часть теоремы доказывает пример. B самом деле, достаточно рассмотреть два уравнения:

x– 1 = 0 и x– 1 + 1/x– 1 = 1/x– 1,

первое из которых имеет единственный корень x = 1, а второе вовсе не имеет корней, так как при x = 1 оно теряет смысл.

18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять тот же самый.

19—19а. Для доказательства достаточно заметить, что посторонними для данного уравнения могут быть те корни уравнения

f(x) = (x),

для которых (x) либо не существует, либо обращается в нуль.

20. Если f(а) = (а), то [f(а)]^2 = [(а)]^2. Обратно: из второго равенства следует, что либо f(а) = (а), либо f(а) = -(а).

21. Система равносильна совокупности четырех систем:

22. Доказательство непосредственно следует из свойств пропорций.

9.1. При x < -2 получим

– x + 2x + 2 - 3x– 6 = 0,

т. е. x = -2, что противоречит предположению. Таким образом, при x < -2 уравнение не имеет решений.

При -2 <= x <= -1 получим x = -2.

При -1 < x <= 0 уравнение обращается в ложное числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.

Наконец, при x > 0 получаем x = -2, что снова противоречит ограничению.

Ответ. x = -2.

9.2. Пусть x^2 = y. Тогда

|y– 9| + |y– 4| = 5.

Точки y = 4 и y = 9 разбивают числовую ось на три интервала.

Если y < 4, уравнение примет вид

9 - y + 4 - y = 5,

откуда y = 4. Это значение не принадлежит выбранному интервалу.

Если 4 <= y <= 9, то знаки абсолютной величины следует раскрыть так:

9 - y + y– 4 = 5, т. е. 5 = 5.

Так как уравнение обратилось в верное числовое равенство, то все значения y из интервала 4 <= y <= 8 являются решениями.

При y > 9 получим

y– 9 + y– 4 = 5,

т. е. y = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, что y = x^2, запишем

4 <= x^2 <= 9, или 2 <= |x| <= 3.

Ответ.– 3 <= x <= -2; 2 <= x <= 3.

9.3. Способ 1. Дополним стоящую слева сумму квадратов до полного квадрата:

(x– 3x/3 + x)^2 + 6x^2/3 + x– 7 = 0,

т. е.

(x^2/3 + x)^2 + 6x^2/3 + x– 7 = 0,

откуда получаем совокупность уравнений:

x^2/3 + x = -7, x^2/3 + x = 1.

Действительных решений y этой совокупности уравнений нет.

Способ 2. Введем новое неизвестное:

3x/3 + x = u, или 3x = 3u + xu.

Получим систему

Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем к уравнению относительно x– u

(x– u)^2 + 6(x– u) - 7 = 0, откуда следует совокупность двух уравнений:

x–  u = -7, x–  u = 1.