Чтение онлайн

Решая каждое из этих уравнений, убедимся, что действительных корней нет.

Ответ. Решений нет.

9.4. Возведем данное уравнение в куб:

Стоящий в скобках в левой части уравнения двучлен заменим правой частью данного уравнения и приведем подобные члены:

Такая замена может привести к появлению посторонних корней. B самом деле, при возведении а + b = с в куб мы получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях а, b и с, что и данное равенство. После замены же мы получим

а^3 + b^3 + 3аbс = с^3.

Это равенство удовлетворяется при а = b = 1, с = -1, в то время как исходное равенство а + b = с при этих значениях букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение проверкой.

Возведем последнее иррациональное уравнение в куб. После сокращения получим

4х(2x– 3)(x– 1) = 9(x– 1)^3.

Один корень этого уравнения x1 = 1; остается квадратное уравнение

x^2 - 6х + 9 = 0, x2,3 = 3.

Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни подходят.

Ответ. x1 = 1; x2,3 = 3.

9.5. Пусть

Это — симметрическая система, ее обычно решают подстановкой: и + V = в, ии = _. Поэтому преобразуем левую часть первого уравнения:

u4 + v4 = (u^2 + v^2)^2 - 2u^2v^2 = [(u + v)^2 - 2uv]^2 - 2u^2v^2 = (64 - 2t)^2 - 2t^2 = 64^2 - 256t + 2t^2.

Поскольку все это равно 706, получаем квадратное уравнение

t^2 - 128t + 1695 = 0,

откуда

t1 = 15, t2 = 113.

Остается решить совокупность двух систем:

Решая первую, найдем v1 = 3, v2 = 5, откуда x1 = 4, x2 = 548. Вторая не имеет действительных решений.

Проверкой убеждаемся, что найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. x1 = 4; x2 = 548.

9.6. Введем новые неизвестные:

Получим систему

Обозначим u + v = p. Так как в силу первого уравнения системы u–  v = 1, то u = p + 1/2, v = p - 1/2. Второе уравнение системы примет вид

(p + 1/2)5 - (p - 1/2)5 = 31, 

или после очевидных упрощений

р4 + 2р^2 - 99 = 0.

Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня р1 = -3, р2 = 3. Зная р1 и р2, найдем u1 = -1, u2 = 2, откуда получим два уравнения для определения значений x:

x^2 - 34x + 32 = 0, x^2 - 34x + 65 = 0.

Решив эти уравнения, найдем четыре корня.

Ответ.

9.7. Введем новые неизвестные:

т. е. u4 + v4 = а– b.

Получаем систему

Заменяя во втором уравнении а– b на u4 + v4, получим

откуда

u5 + v5– uv4– и4v = 0, где u + v /= 0,

т. е.

u4(u– v) - v4(u– v) = 0,

а потому

(u– v)^2(u^2 + v^2)(u + v) = 0.

Так как последние два множителя в нуль обратиться не могут, то остается и = v, т. е. а– x = x– b, и, следовательно,

x = а + b/2.

Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного уравнения, если а > b.

Ответ. При а > b имеем x = а + b/2.

9.8. Обозначив