Чтение онлайн

(x– 3 - 1)(x + 3 - 1) = x^2 - 2x– 2,

получим квадратный трехчлен x^2 - 2x– 1, корнями которого являются числа 1 + 2.

Ответ. x1,2 = 1 ± 3; x3,4 = 1 ± 2.

8.8. Из теоремы Виета получаем неравенства:

Добавляем к ним условие неотрицательности дискриминанта:

(а + 1)^2 - 4(а + 4) >= 0.

Приходим к системе неравенств

Последнему неравенству удовлетворяют числа а, лежащие вне промежутка между корнями: а <= -3, а >= 5.

Ответ.– 4 < а <= -3.

8.9. Пусть х1, х1q и х1q^2 — корни данного уравнения. По теореме Виета имеем систему

Из этих уравнений нужно исключить x1 и q. Поскольку из первого уравнения следует х1(1 + q + q^3) = -а, то второе примет вид

b = х1^2q(1 + q + q^2) = x1q(-а),

т. е. x1q = - b/a, откуда

– b^3/a^3 = -c.

Ответ. са^3= b^3.

8.10. По теореме Виета

Возведем первое уравнение в квадрат:

1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(12 + 13 + 23) = 0,

откуда найдем 1^2 + 2^2 + 3^2 . Как видим, последнее уравнение не понадобилось.

Ответ. 1^2 + 2^2 + 3^2 = -2p.

8.11. Разделив x^3 + ax + 1 на x– , получим в частном x^2 + x + а + ^2, а в остатке ^3 + a + 1. Условия задачи будут выполняться тогда и только тогда, если

^3 + a + 1 = 0,

x^2 + x + а + ^2 > 0 при всех x.

Чтобы выполнялось второе условие, дискриминант -3^2 - 4а должен быть отрицательным, т. е. 3^2 + 4а > 0.

Число а не может быть равно нулю, так как уравнение а^3 + а + 1 = 0 не удовлетворяется при а = 0. Из первого уравнения a = -1 + ^3/. Поэтому должно быть

3^2 - 41 + ^3/ > 0.

Если > 0, то последнее неравенство эквивалентно такому:

3^3 - 4(^3 + 1) > 0,

или -^3 > 4, y которого нет решений.

Если < 0, то получим

3^3 - 4(^3 + 1) < 0,

или

Ответ.

8.12. Пусть

P(x) = (x– 2)(x– 3) Q(x) + ax + b,

где ax + b — остаток, который надо найти.

По теореме Безу P(2) = 5, а P(3) = 7. Подставим x = 2 и x = 3 в правую часть написанного выше тождества. Получим систему относительно а и b

откуда а = 2, b = 1.

Ответ. 2x + 1.

8.13. Многочлен x4 + 1 делится на x^2 + рх + q тогда и только тогда, когда

x4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + рх + q).

Раскрывая в правой части скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений

Из первого и последнего уравнений находим а = -p, b = 1/q. Подставляя в оставшиеся два уравнения, получим

Второе уравнение можно переписать так: p(q– 1/q) = 0.

Если p = 0, то первое уравнение не имеет действительных решений. Остается q = 1/q, т. е. q = ±1. Подставляя найденные значения q в первое уравнение, увидим, что, когда q = 1, р^2 = 2 и p = ±2, а когда q = -1, р^2 = -2 и действительных решений нет. Итак, получаем две возможности: либо p = 2 и q = 1, либо p = -2 и q = 1.

Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно было бы разделить x4 + 1 поочередно на каждый из двух трехчленов: x^2 + 2 x + 1 и x^2 - 2 x + 1. Однако проще убедиться, что

x4 + 1 = (x^2 + 2 x + 1)(x^2 - 2 x + 1).